Hans Walser, [20160521]
Gigampfi
Es werden zwei Gigampfi-Probleme mit invarianten Winkeln vorgestellt.
An der Spitze eines gleichseitigen Dreiecks bringen wir einen drehbaren Balken an (Abb. 1). So entsteht eine Gigampfi (Wippe, Schaukel).
Abb.1: Gigampfi
Nun fźgen wir auf beiden Seiten des gleichseitigen Dreieckes je ein gleichschenkliges Dreieck an (Abb. 2).
Abb. 2: Gleichschenklige Dreiecke
Wie gro§ ist der Diagonalen-Schnittwinkel des Umrissviereckes (rot in Abb. 3)?
Abb. 3: Wie gro§ ist der rote Winkel?
In der Abbildung 4 sind die auf Grund der Konstruktion gleich langen Strecken blau eingezeichnet.
Abb. 4: Winkel in den gleichschenkligen Dreiecken
Mit bezeichnen
wir den Neigungswinkel des Balkens gegenźber der Horizontalen. Damit lassen
sich die Winkel in den beiden gleichschenkligen Dreiecken angeben.
Durch die Diagonalen des Umrissviereckes entstehen zwei weitere gleichschenklige Dreiecke (grźn in Abb. 5).
Abb. 5: Weitere gleichschenklige Dreiecke
Das linke
grźne gleichschenklige Dreieck hat die Winkel ,
,
. Das rechte Dreieck hat die Winkel
,
,
.
Damit
sind im †berlappungsdreieck der beiden grźnen Dreieck zwei Winkel bekannt, nŠmlich und
. Der dritte Winkel ist der gesuchte rote Winkel. Er misst
120ˇ.
Der rote
Winkel ist unabhŠngig von . Er bleibt beim Gigampfen
konstant.
Der Diagonalen-Schnittpunkt wandert auf einem Ortsbogen (Abb. 6).
Abb. 6: Ortsbogen
Die Figur lŠsst sich zyklisch anordnen und mit weiteren gleichseitigen Dreiecken ergŠnzen (Abb. 7). Die Diagonalen bilden nun ein gleichwinkliges, aber nicht gleichseitiges Sechseck.
Abb. 7: Zyklische Anordnung
Es ist nicht mšglich, das gleichseitige Dreieck durch ein gleichschenkliges Dreieck zu ersetzen (Abb. 8).
Der Schnittpunkt der Diagonalen wandert auf einer brezelartigen Kurve. Der Schnittwinkel ist nicht konstant.
Abb. 8: Die Brezel
Wir fźgen die beiden gleichschenkligen Dreiecke gemŠ§ Abbildung 9 an.
Abb. 9: Variante
Wieder ist der Diagonalen-Schnittpunkt invariant.
Im Unterschied zum ersten Beispiel funktioniert die Invarianz nun auch im allgemeinen Fall mit einem gleichschenkligen Dreieck als Stźtzdreieck (Abb. 10).
Abb. 10: Gleichschenkliges Dreieck als Stźtzdreieck
Wir
zeigen gleich den allgemeinen Fall der Abbildung 10. Den Winkel an der Spitze
des Stźtzdreieckes bezeichnen wir mit .
Mit bezeichnen
wir wieder den Neigungswinkel des Balkens gegenźber der Horizontalen (Abb. 11).
Wir arbeiten nun mit den beiden magenta
eingezeichneten gleichschenkligen Dreiecken.
Abb. 11: gleichschenklige Dreiecke
Das linke magenta gleichschenklige Dreieck hat die Winkel:
(1)
Das rechte Dreieck hat die Winkel:
(2)
In der Abbildung 12 sind einige der Winkel eingetragen.
Abb. 12: Winkel
Fźr das orange Dreieck (nicht gleichschenklig) erhalten wir an der Basislinie die beiden Winkel:
(3)
Somit ergibt sich fźr den gesuchten roten Winkel:
(4)
Dies ist
unabhŠngig vom Winkel und damit
eine Invariante beim Gigampfen. Fźr ein
gleichseitiges Stźtzdreieck ist der rote Winkel = 120ˇ.