Hans Walser, [20251026]

Gitterpunkte spiegeln

Idee und Anregung: Achilles Iatropoulos, Leverkusen

1 Worum es geht

Überlagerung von Gitterpunkt-Rastern

Paritätsproblem

2 Konstruktion

Wir beginnen mit einem quadratischen Punktraster (grün in Abb. 1).

Abb. 1: Quadratischer Punktraster

Wir zeichnen eine Gerade mit der Steigung ½ durch den mittleren Rasterpunkt (blau in Abb. 2). Die Gerade verläuft auch durch weitere Rasterpunkte. Diese Rasterpunkte haben einen Abstand √(2² + 1²) = √5 ≈ 2.236 voneinander.

Abb. 2: Gerade durch Rasterpunkte

Nun spiegeln wir das grüne Punktraster an dieser Gerade (Abb. 3). Die Spiegelpunkte sind rot gezeichnet.

Abb. 3: Gespiegeltes Raster

3 Überlagerungsraster

In der Abbildung 3 erkennen wir dunkelrote Punkte. Diese Punkte gehören sowohl zum grünen wir zum roten Raster, sind also Punkte des Überlagerungsrasters.

Diese Überlagerungspunkt bilden ihrerseits ein Quadratraster. Es hat die Seitenlänge √5 und ist seitenparallel zur blauen Geraden. Ein Rasterquadrat des Überlagerungsrasters hat im Vergleich mit dem grünen Startraster den fünffachen Flächeninhalt.

In der Abbildung 4 sind die Raster ausgedehnter gezeichnet.

Abb. 4: Ausgedehnte Raster

In der Abbildung 5 wurde die Spiegelgerade weggelassen.

Abb. 5: Ohne Spiegelgerade

4 Verdrehen der Spiegelgerade

Wir variieren die Steigung der Spiegelgerade von 0 bis 1 (Abb. 6).

Abb. 6: Verdrehen der Spiegelungsgeraden

Durch Weglassen der Spiegelgeraden entsteht der Eindruck einer kontinuierlichen Drehung (Abb. 7). Dies ist eine Folge der Symmetrien des grünen Punktrasters.

Abb. 7: Kontinuierliche Drehung

Abb. 8: Kontinuierliche Drehung. Ausschnitt

5 Sonderfall

Für die Steigung √2 – 1 = tan(22.5°) ≈ 0.414 der Spiegelgeraden erhalten wir dasselbe Bild wie bei einer Verdrehung um 45° (Abb. 9). In dieser Situation haben wir nur den Mittelpunkt als exakten Überlagerungspunkt.

Abb. 9: Drehung um 45°

Im ausgedehnten Punktraster (Abb. 10) glaubt man weitere Überlagerungspunkte zu erkennen. Dies ist aber nur näherungsweise der Fall, weil √(5² + 5²) = √50 ≈ 7 ist.

Abb. 10: Scheinbare Überlagerungspunkte

Tatsächlich gibt es keine weitere exakte Überlagerungspunkte. Dies ist eine Folge der Irrationalität von √2.

In der Überlagerung der beiden Raster gibt es daher auch keine Quadrate aus überlagerten Rasterpunkten.

6 Rationale Steigung

Ein quadratisches Überlagerungsraster (wie zum Beispiel in der Abbildung 5) gibt es genau dann, wenn die Steigung der Spiegelgeraden rational ist.

Dies folgt aus der Theorie der pythagoreischen Dreiecke.

7 Ein Paritätsproblem

Die beiden Zahlen ⅖ und ⅗ sind beide rational.

In der Abbildung 11.1 hat die Spiegelgerade die Steigung ⅖ . Wir erkennen ein quadratisches Raster mit Überlagerungspunkten. Die Quadratseiten sind parallel oder orthogonal zur Spiegelgeraden. Die Länge der Quadratseiten ist √(5² + 2²) = √29 ≈ 5.385.

Abb. 11.1: Steigung ⅖

In der Abbildung 11.2 hat die Spiegelgerade die Steigung ⅗ . Wir erkennen ebenfalls ein quadratisches Raster mit Überlagerungspunkten, aber die Quadratseiten schneiden die Spiegelgerade unter Winkeln von ±45°. Die Spiegelgerade ist parallel oder orthogonal zu den Diagonalen des Überlagerungsrasters. Die Länge der Quadratseiten ist √(5² + 3²)/√2 = √17 ≈ 4.123.

Abb. 11.2: Steigung ⅗

Hintergrund: Wir schreiben die rationale Steigung der Spiegelgeraden als gekürzten Bruch in der Form p/q . Wenn nun q – p ungerade ist, haben wir wie in der Abbildung 11.1 ein quadratisches Überlagerungsraster seitenparallel zur Spiegelgeraden. Wenn nun q – p aber gerade ist, haben wir wie in der Abbildung 11.2 ein quadratisches Überlagerungsraster diagonalenparallel zur Spiegelgeraden. Dies ergibt sich aus der Theorie der pythagoreischen Dreiecke.

Bemerkung: Wegen √17 = √(1² + 4²) erhalten wir mit der Steigung 4/1 (Abb. 12) dasselbe Bild wie mit der Steigung ⅗ (Abb. 11.2).

Abb. 12: Andere Generierung