Hans Walser, [20110925a]

Gleichdick

Anregung: J. R., K.-L.

Es werden Gleichdicke aus Kreissektoren aufgebaut. Ein GrenzŸbergang fŸhrt zu Gleichdicken, die aus Kreisevolventen zusammengesetzt sind.

1        Konstruktion

In die Au§enwinkel eines gleichseitigen Dreieckes passen wir regelmŠ§ige Zwšlfecke ein.

Dreieck mit Zwšlfecken

Nun zeichnen wir 30¡-Sektoren ein gemŠ§ Abbildung. Die Zentren der Sektoren liegen auf Eckpunkten des oberen Zwšlfeckes. Der Radius des ersten Sektors ist frei wŠhlbar, der Radius des zweiten Sektors muss passend gewŠhlt werden, so dass wir einen glatten †bergang bei den Sektorbšgen erhalten. Er ist die Summe des Radius des ersten Sektors plus der SeitenlŠnge des Zwšlfeckes.

Erster und zweiter Sektor

Nun zeichnen wir den dritten und den vierten 30¡-Sektor. Die Zentren sind Eckpunkte des Zwšlfeckes rechts unten. Die Radien werden so gewŠhlt, dass glatte †bergŠnge entstehen.

Dritter und vierter Sektor

Der fŸnfte und sechste Sektor ist je gleich gro§ wie der erste und zweite Sektor. Dies kann so gezeigt werden. Wir bezeichnen die SeitenlŠnge des gleichseitigen Dreiecks mit d, die SeitenlŠnge des Zwšlfeckes mit z und den Radius des ersten roten Sektors mit r. Es ist dann:

 

 

 

 

 

 


Weitere Sektoren

Weiter gilt fŸr Gegensektoren:

 

 

Wir erhalten eine Figur, welche Ÿberall den gleichen Durchmesser  hat, ein Gleichdick also.

Das Gleichdick hat zwar eine dreistrahlige Drehsymmetrie, aber keine Symmetrieachsen.

2        Variationen

Bei gegebenem Startdreieck, also gegebenem d, kšnnen wir noch die Grš§e der Zwšlfecke (also z) und den Radius r des ersten Sektors variieren.

Im folgenden einige Bilder.

Mšbiusband,

Achsensymmetrie

3        Ausblicke

Statt mit Zwšlfecken kšnnen wir auch mit 18-Ecken, 24-Ecken, 30-Ecken etc. arbeiten, also allgemein mit .

Wenn wir mit Sechsecken arbeiten, erhalten wir fŸr  das gewšhnliche und fŸr beliebiges r das verallgemeinerte Reuleaux-Dreieck.

FŸr  ergibt sich ein Gleichdick, das aus Kreisevolventen zusammengesetzt ist. Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel, dabei sind die Evolventenbšgen auf den ersten Blick kaum von Kreisbšgen unterscheidbar.

Gleichdick aus Kreisevolventen

Im folgenden Beispiel wird die Asymmetrie der Evolventenbšgen besser sichtbar.

Deutliche Evolventenbšgen