Hans Walser, [20110926a]

Gleichdick mit Kartoffeln

Anregung: J. R., K.-L.

1        Worum geht es?

Mit recht allgemeinen geometrischen Vorgaben kann mit Hilfe von Evolventen ein Gleichdick konstruiert werden.

2        Konstruktion

Wir beginnen mit drei konvexen Gebieten (den ãKartoffelnÒ des Titels). Die RŠnder bezeichnen wir mit .

Drei konvexe Gebiete

Dazu zeichnen wir drei Tangenten  und bezeichnen die BerŸhrungspunkte gemŠ§ der folgenden Abbildung.

Tangenten

Wir bezeichnen die Tangentenabschnitte mit , Indizes modulo 3. Weiter sei  die BogenlŠnge auf der Randkurve .

Nun wŠhlen wir auf der Tangente  einen Startpunkt , der von  den Abstand r hat, und wŠlzen die Tangente auf  ab, bis sie in die Position der Tangente  zu liegen kommt. Die Bahnkurve des Punktes  ist eine Evolvente, den Endpunkt des Evolventenbogens bezeichnen wir mit . Dieser Endpunkt hat von  den Abstand .

 

In den folgenden Abbildungen sind die Evolventenbšgen nur skizziert und nicht genau gezeichnet. Die Abbildungen dienen zur Illustration der GedankengŠnge.

Erster Evolventenbogen

Nun wŠlzen wir die Tangente  auf  ab, bis sie auf  zu liegen kommt. Der Punkt  beschreibt einen Evolventenbogen mit dem Endpunkt .  FŸr die AbstŠnde erhalten wir zunŠchst  und weiter:

 

Durch das AbwŠlzen wird der Tangentenabschnitt verkŸrzt.

Zweiter Evolventenbogen

Nun wird auf  abgewŠlzt, dann wieder auf , dann auf  und schlie§lich auf . Die BogenlŠngen auf den RŠndern der konvexen Gebiete werden abwechslungsweise addiert und subtrahiert. Wir erhalten die Figur der folgenden Abbildung.

Sechs Evolventenbšgen

Wir vermuten, dass sich die Figur schlie§t. Dies kann mit folgender Rundrechnung nachgewiesen werden:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Somit ist , wir haben eine Schlie§ungsfigur.

Es ist noch zu zeigen, dass es sich um eine Gleichdick handelt. Da die Evolventen die Orthogonaltrajektorien zu den Tangentenscharen sind, haben wir in den Punkten  rechte Winkel. Weiter erhalten wir:

 

 

 

 

 

 

 

 

Wir haben also hier Ÿberall gleiche Durchmesser. Nun noch exemplarisch ein allgemeiner Tangentendurchmesser.

Allgemeiner Tangentendurchmesser

Wir bezeichnen die BogenlŠnge . Damit wird:

 

 

Was auf der einen Seite dazu kommt, geht auf der anderen weg. Wir haben ein Gleichdick.

3        Verallgemeinerung

Statt mit drei konvexen Gebieten kšnnen wir mit einer beliebigen ungeraden Anzahl  von konvexen Gebieten starten. Dabei mŸssen wir die Tangenten ãsternfšrmigÒ setzen. Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel fŸr fŸnf konvexe Gebiete.

FŸnf konvexe Gebiete