Hans Walser, [20110926a]
Gleichdick mit Kartoffeln
Anregung: J. R., K.-L.
Mit recht allgemeinen geometrischen Vorgaben kann mit Hilfe von Evolventen ein Gleichdick konstruiert werden.
Wir
beginnen mit drei konvexen Gebieten (den ãKartoffelnÒ des Titels). Die RŠnder
bezeichnen wir mit .
Drei konvexe Gebiete
Dazu
zeichnen wir drei Tangenten und bezeichnen
die BerŸhrungspunkte gemŠ§ der folgenden Abbildung.
Tangenten
Wir
bezeichnen die Tangentenabschnitte mit , Indizes modulo 3. Weiter sei
die BogenlŠnge
auf der Randkurve
.
Nun
wŠhlen wir auf der Tangente einen Startpunkt
, der von
den Abstand r hat, und wŠlzen die Tangente auf
ab, bis sie in
die Position der Tangente
zu liegen kommt.
Die Bahnkurve des Punktes
ist eine
Evolvente, den Endpunkt des Evolventenbogens bezeichnen wir mit
. Dieser Endpunkt hat von
den Abstand
.
In den folgenden Abbildungen sind die Evolventenbšgen nur skizziert und nicht genau gezeichnet. Die Abbildungen dienen zur Illustration der GedankengŠnge.
Erster Evolventenbogen
Nun
wŠlzen wir die Tangente auf
ab, bis sie auf
zu liegen kommt.
Der Punkt
beschreibt einen
Evolventenbogen mit dem Endpunkt
. FŸr die
AbstŠnde erhalten wir zunŠchst
und weiter:
Durch das AbwŠlzen wird der Tangentenabschnitt verkŸrzt.
Zweiter Evolventenbogen
Nun wird
auf abgewŠlzt, dann
wieder auf
, dann auf
und schlie§lich
auf
. Die BogenlŠngen auf den RŠndern der konvexen Gebiete werden
abwechslungsweise addiert und subtrahiert. Wir erhalten die Figur der folgenden
Abbildung.
Sechs Evolventenbšgen
Wir vermuten, dass sich die Figur schlie§t. Dies kann mit folgender Rundrechnung nachgewiesen werden:
Somit ist
, wir haben eine Schlie§ungsfigur.
Es ist
noch zu zeigen, dass es sich um eine Gleichdick handelt. Da die Evolventen die
Orthogonaltrajektorien zu den Tangentenscharen sind, haben wir in den Punkten rechte Winkel.
Weiter erhalten wir:
Wir haben also hier Ÿberall gleiche Durchmesser. Nun noch exemplarisch ein allgemeiner Tangentendurchmesser.
Allgemeiner Tangentendurchmesser
Wir
bezeichnen die BogenlŠnge . Damit wird:
Was auf der einen Seite dazu kommt, geht auf der anderen weg. Wir haben ein Gleichdick.
Statt mit
drei konvexen Gebieten kšnnen wir mit einer beliebigen ungeraden Anzahl von konvexen
Gebieten starten. Dabei mŸssen wir die Tangenten ãsternfšrmigÒ setzen. Die
folgende Abbildung zeigt ein Beispiel fŸr fŸnf konvexe Gebiete.
FŸnf konvexe Gebiete