Hans Walser, [20160537]

Gleiche Sehnen

Anregung: W. K., F.

1     Worum geht es?

Gegeben seien drei Kreise ki(Mi, ri), i = 1, 2, 3, und eine Strecke s, die kŸrzer ist als der kleinste der drei Kreisdurchmesser.

Gesucht ist ein vierter Kreis k, der aus den drei Kreisen Sehnen der gegebenen StreckenlŠnge s herausschneidet.

2     Lšsungsskizze

Zu jedem der drei Kreise ki, i = 1, 2, 3, zeichnen wir einen konzentrischen reduzierten Kreis  mit dem Radius:

 

                                                                                                               (1)         

 

Dann lšsen wir das Apollonius-Problem fŸr die drei reduzierten Kreise .

Es gibt 23 = 8 Lšsungen.

Mit  als dem Radius einer Lšsung  ist r mit

 

                                                                                                               (2)

 

der Radius einer Lšsung fŸr unser Problem.

Die Aufgabe ist mit Zirkel und Lineal lšsbar.

3     Exemplarische Lšsung

Die Abbildung 1 zeigt die Aufgabenstellung, die Abbildungen 2 bis 5 eine Lšsung.

Abb. 1: Aufgabenstellung

Als erstes konstruieren wir die reduzierten Kreise , i = 1, 2, 3 (blau in Abb. 2).

Abb. 2: Reduzierte Kreise

Nun kommt der aufwŠndigste Teil. Zu den drei reduzierten Kreisen suchen wir einen vierten Kreis, der alle drei berŸhrt. Dies ist das Problem des Apollonius von Perge (ca. 262 v. Chr. – ca. 190 v. Chr.). Es gibt 23 = 8 Lšsungen je nach der BerŸhrung von innen oder von au§en. Das Problem ist mit Zirkel und Lineal lšsbar, aber aufwŠndig. Einfacher geht es mit Hyperbeln nach Adriaan van Roomen (1561-1615).

Im Folgenden wird der Fall einer durchgehenden BerŸhrung von au§en weiterbearbeitet (Abb. 3).

Abb. 3: BerŸhrender Kreis

Die Abbildung 4 zeigt nun, wie wir zu unserem gesuchten Kreis k kommen.

Abb. 4: Lšsung unseres Problems

Die Abbildung 5 hat rein Šsthetischen Charakter.              

Abb. 5: Voilˆ