Hans Walser, [20190927]

Gleichseitiges Dreieck?

1     Problemstellung

Wir schneiden die Hyperbel

 

                                                                                                                             (1)

 

 

 

mit dem Kreis um den Ursprung und dem Radius 2 (Abb. 1). Die beiden Schnittpunkte im ersten Quadranten bilden zusammen mit dem Ursprung ein Dreieck. Ist dieses Dreieck gleichseitig?

Abb. 1: Gleichseitiges Dreieck?

2     Bearbeitung

Ein solcher Schnittpunkt hat den Polarabstand 2. Wir suchen den Polarwinkel .

Der Schnittpunkt hat die kartesischen Koordinaten:

 

                                                                                                   (2)

 

 

 

Wegen (1) gilt:

 

                                                                                                      (3)

 

 

 

Die Beziehung (3) kann umgeformt werden (die Additionstheoreme sind immer wieder schšn):

 

                                                                                                   (4)

 

 

 

 

 

Die Gleichung (4) hat die Lšsungen:

 

                               (5)

 

 

 

Daraus ergeben sich die vier Lšsungen (plus Vielfache von 360ˇ):

 

                                                                     (6)

 

 

 

Die ersten beiden Lšsungen gehšren zu unserem Dreieck im ersten Quadraten. Ihre Differenz ist 60ˇ. Das Dreieck ist gleichseitig.