Hans Walser, [20190927]
Gleichseitiges Dreieck?
1 Problemstellung
Wir schneiden die Hyperbel
(1)
mit dem Kreis um den Ursprung und dem Radius 2 (Abb. 1). Die beiden Schnittpunkte im ersten Quadranten bilden zusammen mit dem Ursprung ein Dreieck. Ist dieses Dreieck gleichseitig?
Abb. 1: Gleichseitiges Dreieck?
2 Bearbeitung
Ein
solcher Schnittpunkt hat den Polarabstand 2. Wir suchen den Polarwinkel 
.
Der Schnittpunkt hat die kartesischen Koordinaten:
(2)
Wegen (1) gilt:
(3)
Die Beziehung (3) kann umgeformt werden (die Additionstheoreme sind immer wieder schšn):
(4)
Die Gleichung (4) hat die Lšsungen:
(5)
Daraus ergeben sich die vier Lšsungen (plus Vielfache von 360ˇ):
(6)
Die ersten beiden Lšsungen gehšren zu unserem Dreieck im ersten Quadraten. Ihre Differenz ist 60ˇ. Das Dreieck ist gleichseitig.