Hans Walser, [20190421]

Goldberg

Idee: Patrik G. K. Wiesner, BSc ETHZ, Davidgasse 42, A - 1100 Wien

1     Worum geht es?

Beispiel einer Zerlegungsgleichheit eines gleichseitigen Dreieckes und eines regelmŠ§igen FŸnfeckes (Abb. 1) nach Michael Goldberg (1952). Die Zerlegung benštigt sechs Teile. Kinematische Realisierung.

Abb. 1: Dreieck und regelmŠ§iges FŸnfeck

2     Daten

Wir normieren die FlŠchen der beiden Polygone auf 1.

FŸr die SeitenlŠnge  des Dreieckes erhalten wir damit:

 

                                                                                             (1)

 

 

 

FŸr die SeitenlŠnge  des FŸnfeckes erhalten wir:

 

                                                                         (2)

 

 

 

Das SeitenverhŠltnis ist:

 

                                                                                                       (3)

 

 

 

Die SeitenlŠnge des Dreieckes ist also fast doppelt so gro§ wie jene des FŸnfeckes. Allerdings darf man nicht mit dem NŠherungswert 2 arbeiten, weil sonst die Zerlegung sichtbar ungenau wird (eigene Erfahrung).

3     Konstruktives Vorgehen

Wir beginnen mit dem regelmŠ§igen FŸnfeck und zeichnen die horizontale Diagonale (Abb. 2a).

Abb. 2: Erste drei Schritte

Durch den Mittelpunkt dieser Diagonalen zeichnen wir eine Parallele zur linken Topfseite des FŸnfeckes (Abb. 2b). Somit erhalten wir das gelbe und das dunkelgrŸne TeilstŸck.

Bis jetzt haben wir uns ausschlie§lich in der FŸnfeckgeometrie bewegt.

Nun kommt das Dreieck ins Spiel.

Wir tragen von der linken unteren Ecke des FŸnfeckes aus die halbe Dreieckseite auf die Diagonale ab (Abb. 2c). Wegen (3) ist die entstehende Strecke (magenta) nicht parallel zur rechten Topfseite des FŸnfeckes.

Abb. 3: Fortsetzung der Konstruktion

Die magenta Strecke ergŠnzen wir zum gleichseitigen Dreieck (Abb. 3a). So erhalten wir das rote Viereck.

Durch die Spitze des gleichseitigen Dreiecks zeichnen wir eine Parallele zur magenta Strecke (Abb. 3b). Wir haben an dieser Spitze jetzt drei Winkel von 60¡. Diese werden in die Ecken des gleichseitigen Dreiecks kommen.

Wir kšnnen nun noch das dunkelblaue und das hellgrŸne Dreieck sowie das  hellblaue Viereck markieren. Das hellblaue Viereck ist dem Anschein zum Trotz kein Parallelogramm. Lediglich bei beiden kurzen Seiten sind parallel.

Die sechs Teile kšnnen nun gemŠ§ Abbildung 1 ins gleichseitige Dreieck eingepasst werden.

4     Orientierungen

In der Abbildung 4 ist im FŸnfeck zusŠtzlich zu den Farben eine senkrechte Schraffur angebracht worden.

Abb. 4: Orientierungen

Die Teile werden nun unter Beibehaltung der Schraffur ins Dreieck eingepasst. Bei den Teilen, die sich im FŸnfeck unterhalb der Diagonale befinden, ist die Schraffur nach wie vor senkrecht. Diese Teile werden also entweder verschoben (dunkelblau und hellgrŸn) oder um 180¡ gedreht (rot und himmelblau). Bei den beiden Teilen oberhalb der FŸnfeckdiagonale (gelb und grŸn) kommt noch eine Verdrehung um ein Vielfaches von 36¡ dazu.

5     Kinematisches Modell

Der †bergang vom FŸnfeck zum Dreieck und zurŸck lŠsst sich durch ein kinematisches Modell visualisieren. Dieses Modell geht auf Patrik G. K. Wiesner, BSc ETHZ, Davidgasse 42, A - 1100 Wien, zurŸck und ist patentiert.

Die Abbildung 5 zeigt die Startposition des FŸnfeckes. Die beiden blauen, der gelbe und der grŸne Punkt sind ortsfeste Drehpunkte. Die beiden roten Punkte sind Gelenkpunkte. Sie bilden zusammen mit den beiden blauen Punkten ein Parallelogramm. An den Parallelogrammseiten sind der Reihe  nach das hellblaue, das dunkelblaue, das rote und das hellgrŸne TeilstŸck befestigt. Sie drehen mit diesen Seiten. Im Detail hei§t das, dass das hellgrŸne Dreieck ortsfest bleibt, das  hellblaue und das hellrote Viereck je um einen blauen Punkt drehen und das dunkelblaue Dreieck unter Beibehaltung der Orientierung (also ohne Verdrehen) herumschaukelt.

Das gelbe Dreieck dreht um den gelben Punkt, und zwar gegengleich zum Parallelogramm und nur mit einem FŸnftel der Drehgeschwindigkeit.

Das dunkelgrŸne Viereck dreht um den dunkelgrŸnen Punkt im gleichen Sinn wie das Parallelogramm, aber nur mit vier FŸnfteln der Drehgeschwindigkeit.

Abb. 5: Startposition

Die Abbildung 6 zeigt den kinematischen Prozess in Schritten von 30¡.

Abb. 6: Kinematik

Auf meiner Homepage findet sich eine GeoGebra-Animation (Animation3) dazu. Der Prozess geht hin und zurŸck. Man kann ihn auch endlos vorwŠrts laufen lassen, wegen der unterschiedlichen Drehgeschwindigkeiten dauert es dann ein bisschen, bis die Startposition wieder erreicht ist (Animation4).

Weitere Animationen hier.

Wie lŠsst sich dies mechanisch realisieren?

 

Weblinks

DITOH, Spezieller platonischer Kšrper

https://www.ditoh.com

 

Animationen

https://www.ditoh.com/dr-hans-walser-ethz-uni-basel

 

Hans Walser: Dudeney

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Dudeney/Dudeney.htm

 

Hans Walser: Dudeney

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Dudeney2/Dudeney2.htm

 

Hans Walser: Quadrat und FŸnfeck

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Q/Quadrat_u_Fuenfeck/Quadrat_u_Fuenfeck.htm