Hans Walser, [20190421]
Goldberg
Idee: Patrik
G. K. Wiesner, BSc ETHZ, Davidgasse 42, A - 1100 Wien
Beispiel
einer Zerlegungsgleichheit eines gleichseitigen Dreieckes und eines regelmŠ§igen
FŸnfeckes (Abb. 1) nach Michael Goldberg (1952). Die Zerlegung benštigt sechs
Teile. Kinematische Realisierung.
Abb. 1: Dreieck und regelmŠ§iges FŸnfeck
Wir
normieren die FlŠchen der beiden Polygone auf 1.
FŸr die
SeitenlŠnge des Dreieckes erhalten wir damit:
(1)
FŸr die
SeitenlŠnge des FŸnfeckes erhalten wir:
(2)
Das
SeitenverhŠltnis ist:
(3)
Die
SeitenlŠnge des Dreieckes ist also fast doppelt so gro§ wie jene des FŸnfeckes.
Allerdings darf man nicht mit dem NŠherungswert 2 arbeiten, weil sonst die Zerlegung
sichtbar ungenau wird (eigene Erfahrung).
Wir
beginnen mit dem regelmŠ§igen FŸnfeck und zeichnen die horizontale Diagonale
(Abb. 2a).
Abb. 2: Erste drei Schritte
Durch den
Mittelpunkt dieser Diagonalen zeichnen wir eine Parallele zur linken Topfseite
des FŸnfeckes (Abb. 2b). Somit erhalten wir das gelbe und das dunkelgrŸne
TeilstŸck.
Bis jetzt
haben wir uns ausschlie§lich in der FŸnfeckgeometrie bewegt.
Nun kommt
das Dreieck ins Spiel.
Wir tragen
von der linken unteren Ecke des FŸnfeckes aus die halbe Dreieckseite auf die
Diagonale ab (Abb. 2c). Wegen (3) ist die entstehende Strecke (magenta) nicht parallel zur rechten
Topfseite des FŸnfeckes.
Abb. 3: Fortsetzung der Konstruktion
Die
magenta Strecke ergŠnzen wir zum gleichseitigen Dreieck (Abb. 3a). So erhalten
wir das rote Viereck.
Durch die
Spitze des gleichseitigen Dreiecks zeichnen wir eine Parallele zur magenta
Strecke (Abb. 3b). Wir haben an dieser Spitze jetzt drei Winkel von 60¡. Diese
werden in die Ecken des gleichseitigen Dreiecks kommen.
Wir kšnnen
nun noch das dunkelblaue und das hellgrŸne Dreieck sowie das hellblaue
Viereck markieren. Das hellblaue Viereck ist dem Anschein zum Trotz kein
Parallelogramm. Lediglich bei beiden kurzen Seiten sind parallel.
Die sechs
Teile kšnnen nun gemŠ§ Abbildung 1 ins gleichseitige Dreieck eingepasst werden.
In der Abbildung
4 ist im FŸnfeck zusŠtzlich zu den Farben eine senkrechte Schraffur angebracht
worden.
Abb. 4: Orientierungen
Die Teile
werden nun unter Beibehaltung der Schraffur ins Dreieck eingepasst. Bei den
Teilen, die sich im FŸnfeck unterhalb der Diagonale befinden, ist die Schraffur
nach wie vor senkrecht. Diese Teile werden also entweder verschoben (dunkelblau
und hellgrŸn) oder um 180¡ gedreht (rot und himmelblau). Bei den beiden Teilen
oberhalb der FŸnfeckdiagonale (gelb und grŸn) kommt noch eine Verdrehung um ein
Vielfaches von 36¡ dazu.
Der
†bergang vom FŸnfeck zum Dreieck und zurŸck lŠsst sich durch ein kinematisches
Modell visualisieren. Dieses Modell geht auf Patrik G. K. Wiesner,
BSc ETHZ, Davidgasse 42, A - 1100 Wien, zurŸck und ist patentiert.
Die
Abbildung 5 zeigt die Startposition des FŸnfeckes. Die beiden blauen, der gelbe
und der grŸne Punkt sind ortsfeste Drehpunkte. Die beiden roten Punkte sind
Gelenkpunkte. Sie bilden zusammen mit den beiden blauen Punkten ein
Parallelogramm. An den Parallelogrammseiten sind der Reihe nach das
hellblaue, das dunkelblaue, das rote und das hellgrŸne TeilstŸck befestigt. Sie
drehen mit diesen Seiten. Im Detail hei§t das, dass das hellgrŸne Dreieck ortsfest
bleibt, das hellblaue und das hellrote Viereck je um einen blauen Punkt
drehen und das dunkelblaue Dreieck unter Beibehaltung der Orientierung (also
ohne Verdrehen) herumschaukelt.
Das gelbe
Dreieck dreht um den gelben Punkt, und zwar gegengleich zum Parallelogramm und
nur mit einem FŸnftel der Drehgeschwindigkeit.
Das
dunkelgrŸne Viereck dreht um den dunkelgrŸnen Punkt im gleichen Sinn wie das
Parallelogramm, aber nur mit vier FŸnfteln der Drehgeschwindigkeit.
Abb. 5: Startposition
Die
Abbildung 6 zeigt den kinematischen Prozess in Schritten von 30¡.
Abb. 6: Kinematik
Auf meiner
Homepage findet sich eine GeoGebra-Animation (Animation3) dazu. Der Prozess
geht hin und zurŸck. Man kann ihn auch endlos vorwŠrts laufen lassen, wegen der
unterschiedlichen Drehgeschwindigkeiten dauert es dann ein bisschen, bis die
Startposition wieder erreicht ist (Animation4).
Weitere Animationen
hier.
Wie lŠsst
sich dies mechanisch realisieren?
Weblinks
DITOH,
Spezieller platonischer Kšrper
Animationen
https://www.ditoh.com/dr-hans-walser-ethz-uni-basel
Hans
Walser: Dudeney
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Dudeney/Dudeney.htm
Hans
Walser: Dudeney
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Dudeney2/Dudeney2.htm
Hans
Walser: Quadrat und FŸnfeck
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Q/Quadrat_u_Fuenfeck/Quadrat_u_Fuenfeck.htm