1 Worum geht es?

Aus gleichseitigen Dreiecken konstruierte Doppelspirale (Abb. 1) mit einem Längenverkleinerungsfaktor im Umfeld des Goldenen Schnittes.

2 Die Doppelspirale

Abb. 1: Goldene Doppelspirale

Das Außenprofil der einen Spirale berührt das Innenprofil der anderen und umgekehrt. Die beiden Spiralen sind punktsymmetrisch.

3 Längen-Verkleinerungsfaktor

Wir berechnen den Längen-Verkleinerungsfaktor f beim Übergang von einem Dreieck zum nachfolgenden (Abb. 2).

Abb.2: Vermaßung

Aus der Abbildung 2 lesen wir ab:

(1)

Diese Gleichung sechsten Grades lässt sich mit schulischen Mitteln einfach lösen. Da die triviale Lösung f = 0 für uns nicht relevant ist, können wir (1) durch f dividieren und vereinfachen zu:

(2)

Eine weitere Lösung ist somit f = –1. Diese ist für uns ebenfalls nicht relevant, sodass wir durch den entsprechenden Linearfaktor dividieren können. Dies ergibt:

(3)

Aus dieser biquadratischen Gleichung ergibt sich:

(4)

Für reelle Lösungen für f ist in (4) nur die Plus-Lösung relevant. Mit der Schreibweise des Goldenen Schnittes (Walser 2013)

(5)

ist also:

(6)

Wiederum ist nur die positive Lösung relevant, so dass wir schließlich haben:

(7)

Dies rechtfertigt die Bezeichnung Goldene Doppelspirale.

Literatur

Walser, H. (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wußing über populärwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.

Websites

Hans Walser: Goldene Spirale

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Goldene_Spirale/Goldene_Spirale.htm

Hans Walser: Goldene Spiralen

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Goldene_Spiralen/Goldene_Spiralen.pdf

Hans Walser: Berührspiralen

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/B/Beruehrspiralen/Beruehrspiralen.htm

Hans Walser: Hexenspirale

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Hexenspirale2/Hexenspirale2.htm