Hans Walser, [20171112]

Goldene Pyramiden

Anregung: R. Q., W.

1     Worum geht es?

Durch eine geeignete Anordnung von zwei Goldenen Pyramiden kommen wir zum Ikosaeder und zum Dodekaeder.

2     Die Goldene Pyramide

Die Goldene Pyramide hat ein regelmŠ§iges FŸnfeck als GrundflŠche und als SeitenflŠchen fŸnf gleichschenklige Dreiecke, deren Schenkel zur Basis im VerhŠltnis des Goldenen Schnittes (Walser 2013) stehen (Abb. 1).

Abb. 1: Goldene Pyramide

Die Abbildung 2 zeigt zwei verschiedene Abwicklungen (Schnittmuster) der Goldenen Pyramide.

Abb. 2: Schnittmuster der Goldenen Pyramide

3     Es gibt – gibt es?

R. kam etwas verstšrt von der Schule nach Hause. An sich ging sie gerne in die Schule und liebte ihre Lehrerin.

In der Schule seien die Pyramiden behandelt worden. Ihre Frage, ob es auch Pyramiden mit fŸnf SeitenflŠchen gebe, sei verneint worden. Dabei kšnne sie, R., sich das sehr gut vorstellen.

Nach dem Mittagessen wurde aus Karton mit dem Schnittmuster der Abbildung 2b eine Pyramide wie Abbildung 1a gebaut. R. erklŠrte, so habe sie sich das vorgestellt und ging damit zur Schule.

Auf RŸckfrage sagte sie am Abend, das sei ein MissverstŠndnis gewesen. Die Lehrerin habe die Frage so verstanden, ob auch Pyramiden mit fŸnf SeitenflŠchen gebaut worden seien.

Existiert, was man ãsich sehr gut vorstellenÒ kann?

4     Zweite Goldene Pyramide

Wir fŸgen der Goldenen Pyramide eine zweite kongruente Pyramide mit selber Achse, aber der Spitze nach unten bei. Dabei soll die zweite Pyramide um die gemeinsame Achse um 36¡ verdreht sein. Ihr Boden soll die Hšhe der ersten Pyramide im Goldenen Schnitt teilen. Der Abstand zwischen den beiden Pyramidenbšden sei dabei der Major. Die Abbildung 3 zeigt die Situation.

Abb. 3: Zweite Pyramide

Nun gilt folgendes:

á            Die konvexe HŸlle der Figur ist das regulŠre Ikosaeder (Abb. 4).

á            Die Schnittfigur der beiden Pyramiden ist das regulŠre Dodekaeder (Abb. 5).

Beweise durch Nachrechnen oder Einsicht.

Abb. 4: Konvexe HŸlle ein Ikosaeder

Abb. 5: Schnittfigur ein Dodekaeder

5     Analogie zum Kepler-Stern

Wir fassen ein regulŠres Tetraeder als Pyramide auf und setzen zwei kongruente Tetraeder mit umgekehrter Orientierung auf dieselbe Achse. Die beiden Tetraeder sollen um 60¡ zueinander verdreht sein. Der Pyramidenboden des einen Tetraeders soll die Pyramidenhšhe des anderen halbieren.

Die entstehende Figur ist der Kepler-Stern. Die konvexe HŸlle ist der WŸrfel. Die Schnittfigur der beiden Tetraeder ist das regulŠre Oktaeder.

 

Literatur

Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-937219-85-1.