Hans Walser, [20210909]

Goldene Spiralen

Anregung: Dörte Haftendorn, Lüneburg

0 Worum geht es?

Spiralen auf der Basis einer Zerlegung des Goldenen Rechtecks in Quadrate.

1 Ausgangslage

Die Abbildung 1 zeigt die klassische Zerlegung des Goldenen Rechteckes in Quadrate.

Abb. 1: Zerlegung des Goldenen Rechteckes

2 Gelenke

Wir denken uns nun bei aufeinanderfolgenden Quadraten je ein Gelenk an der gemeinsamen Ecke und lockern etwas auf (Abb. 2). Bei jedem Gelenk haben wir einen Öffnungswinkel von 15°.

Abb. 2: Gelenke

3 Weitere Beispiele

Die Abbildung 3 bis 7 zeigen weitere Situationen. Wir erhalten eckige logarithmische Spiralen.

Abb. 3: Öffnungswinkel 45°

Bei einem Öffnungswinkel 90° bilden die Quadrate eine gerade Folge.

Abb. 4: Öffnungswinkel 90°

Der Öffnungswinkel 180° ergibt wieder ein Goldenes Rechteck (Abb. 5). Es ist spiegelbildlich zum Goldenen Rechteck der Abbildung 1 und steht hochkant.

Abb. 5: Goldenes Rechteck

Bei weiteren Öffnungen ergeben sich teilweise oder vollständige Überlappungen (Abb. 6 und 7).

Abb. 6: Teilweise Überlappung

Abb. 7: Vollständige Überlappung

4 Animation

Abb. 8: Animation

Wir erhalten eine Sequenz von eckigen geometrischen Spiralen.

5 Bahnkurven

5.1 Spiralzentren

Abb. 9: Bahnkurve der Spiralzentren

Die Spiralzentren liegen auf einem Kreis mit den Kenndaten der Abbildung 10.

Abb. 10: Bahnkurve der Spiralzentren

Mit dem Goldenen Schnitt

(1)

ist im angegebenen Koordinatensystem:

(2)

Für den Kreisradius r erhalten wir:

(3)

Es ist bemerkenswert, dass sowohl der Goldene Schnitt wie auch die Quadratwurzel aus 2 vorkommen.

Die Punkte A, B, S, T liegen harmonisch.

5.2 Gelenkpunkte

Der Gelenkpunkt rot/gold bleibt fest. Der Gelenkpunkt gold/blau bewegt sich auf einem Kreis (Abb. 11.1).

Abb. 11.1: Bahnkurve gold/blau

Die folgenden Bahnkurven ergeben sich durch Überlagerungen von Kreisbewegungen.

Abb. 11.2: Gelenkpunkt blau/violett

Abb. 11.3: Gelenkpunkt violett/hellblau

Abb. 11.4: Gelenkpunkt hellblau/rot

Die Abbildung 12 zeigt die ersten 20 Bahnkurven.

Abb. 12: Bahnkurven

Die Abbildung 13 zeigt dasselbe in schrittweisem Vorgehen.

Abb. 13: Bahnkurven

Websites

Hans Walser: Goldene Spiralen

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Goldene_Spiralen/Goldene_Spiralen.pdf