Hans Walser, [20170308]

Goldener Quader

Besprechung einer Aufgabe (Wiltsche 2016).

Anregungen von Heinz Klaus Strick, Leverkusen

1     Erinnerung: Goldene Rechtecke

Wir ordnen zwei gleich gro§e Goldene Rechtecke (Rechtecke mit dem SeitenverhŠltnis des Goldenen Schnittes, Walser 2013) an gemŠ§ Abbildung 1.

Abb. 1: Goldene Rechtecke

Die drei rot markierten Punkte sind kollinear. Beweis: Das orange Teilrechteck (Abb. 2) ist Šhnlich zum Goldenen Rechteck im Querformat.

Abb. 2: Beweisfigur

2     †bertragung in den Raum

Wir suchen zwei gleich gro§e Quader mit einer KollinearitŠtseigenschaft gemŠ§ Abbildung 3.

Abb. 3: KollinearitŠt im Raum

3     Bezeichnungen

Wir arbeiten mit den Bezeichnungen der Abbildung 4. Dabei ist r < q < p.

Abb. 4: Bezeichnungen

4     Berechnungen

Fźr die Berechnungen setzen wir r = 1.

Aus der Sicht von oben (Grundriss) erhalten wir:

 

                                                                                                                           (1)

 

Aus der Sicht von vorne (Aufriss) erhalten wir:

 

                                                                                                                           (2)

 

Das Gleichungssystem (1) und (2) hat die reelle Lšsung:

 

                                                (3)

 

5     Bemerkungen

Aus dem Gleichungssystem (1) und (2) ergibt sich durch Termumformen:

 

                                                                                                                           (4)

 

Ebenso gilt die Beziehung:

 

                                                                                                                       (5)

 

Fźr p erhalten wir die kubische Gleichung:

 

                                                                                                                   (6)

 

6     Analogie zum Goldenen Rechteck

Die Abbildung 5 zeigt die Analogie zur Abbildung 2.

Abb. 5: Analogie zum Goldenen Rechteck

Die Analogie wird in der Sicht von der Seite (Seitenriss) besonders deutlich (Abb. 6).

Abb. 6: Seitenriss

 

Literatur

Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing źber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-937219-85-1.

Wiltsche, Albert (2016): Aufgabenecke 2016/2, Aufgabe 21.2, IBDG, InformationsblŠtter der Geometrie, Fachverband der Geometrie, Heft 2/2016, Jahrgang 35, S. 10.