Hans Walser, [20090703b]
Eine Konstruktion des Goldenen Schnittes
Idee von J. N., S.
Es wird eine Konstruktion des Goldenen Schnittes mit einem freien Parameter besprochen.
Konstruktion
Auf der y-Achse wŠhlen wir einen beliebigen
Punkt ; p ist also ein
freier Parameter fźr die Konstruktion. Fźr eine reelle Konstruktion muss
sein.
Kreis k um M
schneiden mit dem Einheitskreis e;
Schnittpunkt S. Gerade g durch Ursprung O und S. Kreis K um M
durch Einheitspunkt auf der x-Achse. Schnitt von K mit g gibt T. Die Strecke OT hat die LŠnge
des Goldenen
Schnittes.
Einheitskreis e:
Kreis k:
Schnittpunkt S:
Wir
nehmen den positiven Wert und erhalten:
Gerade g:
Oder in anderer Darstellung:
Radius R des Kreises K:
Kreis K:
Schnittpunkt T mit der Geraden g:
Dies ist
die Gleichung des goldenen Schnittes fźr . Es ist also (wir nehmen die positive Lšsung):
Weiter ist:
Somit haben wir:
Fźr den Abstand vom Ursprung ergibt sich:
Dies war zu beweisen.
Fźr fŠllt
die Gerade g mit der y-Achse zusammen und wir erhalten eine
klassische Konstruktion. Der kleine Kreis k
ist nur zur Verdeutlichung eingezeichnet, fźr die Konstruktion ist er nicht
erforderlich.
Die Figur lŠsst sich mit einem Quadrat und einem gleichseitigen Dreieck der SeitenlŠngen 1 ergŠnzen.
Konstruktion
fźr
Damit kann die Konstruktion einfacher dargestellt werden.
Vereinfachte Darstellung