Hans Walser, [20250418]
Goldener Schnitt
Idee und Anregung: Kurt Hofstetter, Wien
1
Worum es
geht
Konstruktion des
Goldenen Schnittes in einem Dreiecksraster mit Hilfe eines Kreises
2
Konstruktion
Wir passen die Strecke,
welche im Verhältnis des Goldenen Schnittes zu teilen ist, in ein
Dreiecksraster (Abb. 1).
Abb. 1: Im
Dreiecksraster
In das
Umrisssechseck zeichnen wir den Inkreis (Abb. 2).
Abb. 2: Inkreis
Den Inkreis
schneiden wir mit einer Rasterlinie (rechts oben in Abb. 3). Der Schnittpunkt
ist kein Rasterpunkt. Er ist aber ein Schlüsselpunkt für weitere
Konstruktionen.
Abb. 3:
Schnittpunkt mit Rasterlinie
Wir verbinden diesen
Schnittpunkt mit einem Rasterpunkt gemäß Abbildung 4.
Abb. 4:
Verbindungsstrecke
Diese
Verbindungsstrecke teilt die gegebene Strecke im Verhältnis des Goldenen
Schnittes (Abb. 5). Der Major ist rot, der Minor blau markiert.
Abb. 5:
Goldener Schnitt
3
Beweis
Rechnerisch
4
Weitere im
Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilte Strecken
Mit einem weiteren
Rasterpunkt erhalten wir neue Strecken, die im Verhältnis des Goldenen
Schnittes geteilt werden (Abb. 6 und Abb. 7).
Abb. 6:
Goldener Schnitt mit einem weiteren Rasterpunkt
Abb. 7: Teilung
im Goldenen Schnitt
Wir finden auch
Strecken im Teilverhältnis des Goldenen Schnittes, welche auf verschiedenen
Geraden liegen (Abb. 8).
Abb. 8:
Längenverhältnis im Goldenen Schnitt
Abb. 9:
Längenverhältnis im Goldenen Schnitt
Abb. 10:
Längenverhältnis im Goldenen Schnitt
Aus den Daten der
Abbildungen 5, 7 und 10 ergibt sich, dass die beiden in der Abbildung 11
markierten Dreiecke ähnlich sind. Ihr Flächenverhältnis ist das Quadrat des
Goldenen Schnittes, also Φ2 = (3 + √5)/2 = 1 + Φ
≈ 2.168. Dieses Verhältnis wird gelegentlich als Hochgoldenes Verhältnis
bezeichnet.
Abb. 11:
Ähnliche Dreiecke
5
DIN-Format
und Flächenverdoppelung
In der Figur finden
wir auch Strecken im Längenverhältnis √2:1, also im Längenverhältnis des
DIN-Formates. Dieses Verhältnis wird gelegentlich als Silbernes Verhältnis
bezeichnet. In den Abbildungen 12, 13 und 14 ist jeweils die längere Strecke
magenta und die kürzere Strecke himmelblau gezeichnet.
Abb. 12:
Silbernes Längenverhältnis
Abb. 13:
Silbernes Längenverhältnis
Abb. 14:
Silbernes Längenverhältnis
Aus den Daten der
Abbildungen 12 bis 14 ergibt sich die (ungleichsinnige) Ähnlichkeit der in der
Abbildung 15 markierten Dreiecke. Deren Flächenverhältnis ist 2:1.
Abb. 15:
Flächenverhältnis 2:1
6
Ausdehnung
des Dreiecksrasters
Durch Ausdehnung des
Dreiecksrasters ergeben sich weitere Beispiele einer Teilung im Goldenen
Schnitt.
Die ursprünglich
gegebene Strecke (Abb. 1) wird nun zum Major (Abb. 16).
Abb. 16:
Ausdehnung des Dreiecksrasters
Wir können auch mit einer
Parallelen zu den Rasterlinien arbeiten (Abb. 17).
Abb. 17: Parallele
zu den Rasterlinien
Die Abbildung 18
gibt eine weitere Teilung im Goldenen Schnitt.
Abb. 18:
Teilung im Goldenen Schnitt
In der Abbildung 19
haben wir ein Längenverhältnis im Goldenen Schnitt.
Abb. 19:
Längenverhältnis im Goldenen Schnitt
Das DIN-Format, also
das Längenverhältnis √2:1 treffen wir auch hier an (Abb. 20).
Abb. 20:
Längenverhältnis im DIN-Format
Die ursprünglich
gegebene Strecke (Abb. 1) kann auch zum Minor werden (Abb. 21). Der äußere Teilpunkt
ist knapp außerhalb des gezeichneten Rasters.
Abb. 21:
Teilung im Goldenen Schnitt
7
Symmetrisierung
Durch Symmetrisierung erhalten wir eine fortgesetzte Teilung im
Verhältnis des Goldenen Schnittes (Abb. 22).
Abb. 22:
Fortgesetzte Teilung
Wir können – zum
Beispiel – ein Pentagramm einpassen (Abb. 23).
Abb.
23: Pentagramm
Weblinks
Kurt Hofstetter: Divison
of a Segment in the Golden Section with Ruler and Rusty Compass
https://web.archive.org/web/20200716225313/http:/forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200518.pdf
Hans Walser: Miniaturen. Goldener Schnitt
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/Goldener_Schnitt/index.html
Literatur
Hans Walser: The
Golden Ratio
https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-69890-7
Hans Walser: Der
Goldene Schnitt
Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und
Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am
Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.