Hans Walser, [20111011a]
Konstruktion des Goldenen Schnittes mit einem Parameter
Mathematische Ausarbeitung einer Idee von J. N., S.
Die Abbildung 1 von J. N. beschreibt die Konstruktion auf der Basis eines rechteckigen Papierblattes.
Abb. 1: Konstruktion (Zeichnung von J. N.)
Ein
Rechteck wird um die linke untere Ecke A
gedreht, bis die linke Kante auf den Mittelpunkt M zu liegen kommt. Dann wird um diesen Mittelpunkt M gedreht, bis die Ecke rechts unten auf
die Standlinie zu liegen kommt. Die in der Abbildung angegebene Strecke steht dann im
VerhŠltnis des Goldenen Schnittes zur Rechteckskante
.
FŸr den mathematischen Beweis reduzieren wir die geometrische Konstruktion auf das Minimum. Wir verwenden die Bezeichnungen der Abbildung 2.
Abb. 2: Beweisfigur
Wir
beginnen mit dem gleichschenkligen Dreieck ABM.
Die BasislŠnge normieren wir auf
1, die Hšhe h ist der freie Parameter.
Diese Hšhe h ist die halbe Hšhe des ursprŸnglichen
Rechtecks.
In A zeichnen wir die Normale zum Dreiecksschenkel AM und schneiden diese mit dem Kreis um A durch B. Der Schnittpunkt sei D.
Den Kreis um M durch D schneiden wir mit der Geraden AB, der Schnittpunkt sei C.
Die
Strecke steht dann im
VerhŠltnis des Goldenen Schnittes zur Basis
.
Beweis:
FŸr die
SchenkellŠnge erhalten wir nach
Pythagoras:
Daraus erhalten wir fŸr den Radius r:
FŸr die
Strecke ergibt sich:
Somit ist
:
Dies ist der Goldene Schnitt.
Die Abbildung 3 zeigt den Konstruktikonsvorgang mit Rechtecken in drei Bildern. Der freie Parameter ist die (halbe) Hšhe des Ausgangsrechteckes.
Abb. 3: Konstruktionsvorgang
Wir arbeiten im Dreiecksraster und starten mit dem in der Abbildung 4 eingezeichneten Rechteck.
Abb. 4: Rechteck im Dreiecksraster
Die Konstruktion des Goldenen Schnittes fŸhrt zur Figur der Abbildung 5.
Abb. 5: Konstruktion des Goldenen Schnittes
Das erinnert an die Konstruktion von Odom (vgl. [Walser 2009], S. 83). TatsŠchlich ergibt sich die Idee von Odom durch Einzeichnen eines geeigneten Dreiecks (Abb. 6).
Abb. 6: Idee von Odom
Die Abbildung 7 zeigt die Situation fŸr ein sehr flaches Startrechteck.
Abb. 7: Flaches Startrechteck
FŸr erhalten wir
daraus eine klassische Konstruktion des Goldenen Schnittes (Abb. 8).
Abb. 8: Klassische Konstruktion des Goldenen Schnittes
Statt mit dem gleichschenkligen Dreieck kšnnen wir auch mit dem rechten Winkel beginnen (Abb. 9). Auf dem einen Schenkel wŠhlen wir D im Abstand 1 vom Scheitel A, auf dem anderen Schenkel in beliebigem Abstand den Punkt M. Nun zeichnen wir einen Kreis um M durch A und einen Kreis um A durch D. Der Schnittpunkt B fŸhrt zum gleichschenkligen Dreieck ABM.
Abb. 9: Variante der Konstruktion
Weiter
zeichnen wir um M einen Kreis durch D und erhalten mit der Geraden AB den Schnittpunkt C. Die Strecke steht dann im
VerhŠltnis des Goldenen Schnittes zur Strecke
. Wir kšnnen dieses VerhŠltnis mit einem Kreis um A durch C auf den unteren Schenkel des rechten Winkels Ÿbertragen.
Literatur
[Walser 2009] Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 5., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2009. ISBN 978-3-937219-98-1