Hans Walser, [20250523]

Goldener Schnitt

Idee und Anregung: Shingo Nakanishi, Japan

1 Worum es geht

Verschiedene Zugänge zu einer Zahlenfolge, in welcher als erste nicht triviale Zahl der Goldene Schnitt erscheint.

2 Gleiche Dezimalstellen

Welche positiven reellen Zahlen haben in der Dezimalbruchentwicklung nach dem Dezimalpunkt dieselben Ziffern wie ihr Kehrwert?

Das triviale Beispiel ist die Zahl 1.

Zwei positive Zahlen haben genau dann nach dem Dezimalpunkt dieselben Ziffern, wenn ihre Differenz eine natürliche Zahl ist. Für unser Problem ergibt sich daraus die Gleichung:

x – 1/x = n, n ∈ ℕ

Dies führt auf die quadratische Gleichung:

x² – nx – 1 = 0

Die positive Lösung ist:

x = (n + √(n² + 4))/2

Für den Kehrwert erhalten wir:

1/x = (–n + √(n² + 4))/2

Die Tabelle 1 gibt die ersten Lösungen. Die Lösungen werden exakt und in dezimaler Approximation gegeben.

n	x	x	1/x	1/x
0	1	1.	1	1.	Triviale Lösung
1	1/2 + (1/2)*5^(1/2)	1.618033988	– 1/2 + (1/2)*5^(1/2)	.6180339880	Goldener Schnitt
2	1 + 2^(1/2)	2.414213562	– 1 + 2^(1/2)	.414213562
3	3/2 + (1/2)*13^(1/2)	3.302775638	– 3/2 + (1/2)*13^(1/2)	.302775638
4	2 + 5^(1/2)	4.236067977	– 2 + 5^(1/2)	.236067977
5	5/2 + (1/2)*29^(1/2)	5.192582404	– 5/2 + (1/2)*29^(1/2)	.192582404

Tab. 1: Erste Lösungen

3 Quadrate abschneiden

Gesucht sind Rechtecke der Höhe 1 und der Länge x so, dass nach Abschneiden von n Einheitsquadraten ein zum Ausgangsrechteck ähnliches, aber hochkant stehendes Rechteck übrigbleibt.

Die Abbildung 1 zeigt die Situation für n = 3.

Abb. 1: Quadrate abschneiden

Es ist x = n + 1/x. Die Ähnlichkeitsbedingung liefert:

(n + 1/x)/1 = 1/(1/x)

Also:

n + 1/x = x

Daraus ergibt sich wiederum die quadratische Gleichung:

x² – nx – 1 = 0

Die Abbildung 2 zeigt die ersten Beispiele.

Abb. 2: Rechtecke

Das triviale Beispiel ist das Quadrat, bei dem kein (n = 0) Quadrat abgeschnitten wird und das Restrechteck das hochkant stehende Quadrat ist. — Die trivialen Beispiele sind oft schwierig zu verstehen. Daher soll im Unterricht immer zunächst das einfachste nicht-triviale Beispiel besprochen werden.

Die Abbildung 3 illustriert die Ähnlichkeit durch Unterteilung des Restrechteckes in n kleinere Quadrate und ein Restrechteck zweiten Grades.

Abb. 3: Unterteilung des Restrechteckes

Auch das Restrechteck zweiten Grades kann wieder unterteilt werden (Abb. 4).

Abb. 4: Nächste Runde

Und so geht das weiter (Abb. 5 und Abb. 6).

Abb. 5: Weitere Runde

Abb. 6: Noch eine Runde

4 Spiralen

Statt wie im obigen Abschnitt die Figuren über die Anzahl n der abgeschnittenen Quadrate zu iterieren, können wir auch n festhalten und über die Anzahl k der fortgesetzten Unterteilungen iterieren. Die Abbildung 7 zeigt die Situation für den Fall n = 1. Es entsteht eine spiralförmige Anordnung von immer kleiner werdenden Quadraten. Man spricht gelegentlich von der Goldenen Spirale. Theoretisch geht die Anzahl der Unterteilungen ins Unendliche. Nach etwa 8 Unterteilungsschritten ist aber optisch keine Veränderung mehr feststellbar.

Abb. 7: Goldene Spirale

Die Abbildung 8 zeigt die Situation für n = 2. Es ergibt sich eine aus Paaren von gleichen Quadraten zusammengesetzte Spirale. Sie wird gelegentlich als silberne Spirale bezeichnet.

Abb. 8: Spirale aus Quadratpaaren

Die Abbildung 9 zeigt die Situation für n = 3. Es ergibt sich eine aus Tripeln von gleichen Quadraten zusammengesetzte Spirale.

Abb. 9: Spirale aus Quadrattripeln

Spannend ist die Sache für n = 0. Da geht nichts ab (Abb. 10). Es ist eine aus 0-Tupeln von gleichen Quadraten zusammengesetzte Spirale.

Abb. 10: Spirale aus 0-Tupeln von gleichen Quadraten.

5 Im Quadratraster

Die gesuchten Rechtecke können auch mit Zirkel und einem Quadratraster konstruiert werden. Wir illustrieren das Vorgehen für n = 3.

Wir beginnen mit einem 2×n Quadratraster (Abb. 11). Dazu zeichnen wir die Mittellinie und den Umkreis.

Abb. 11: Quadratraster

Die Schnittpunkte des Umkreises mit der Mittellinie sowie zwei diametrale Eckpunkte des Rasters definieren das gesuchte Rechteck (Abb. 12).

Abb. 12: Rechteck

Die Abbildung 13 illustriert das Abschneiden der n Quadrate. Die abgeschnittenen Quadrate sind größer als die Rasterquadrate.

Abb. 13: Quadrate abschneiden

Die Animation 14 zeigt die Situation für n von 0 bis 5.

Abb. 14: Animation

6 Quadratraster und Parabel

Statt mit dem Umkreis können wir auch mit einer Standardparabel arbeiten. Der Scheitelkrümmungskreis dieser Parabel soll gleich den Inkreisen der Rasterquadrate sein (Abb. 15).

Abb. 15: Quadratraster und Parabel

Die Abbildung 16 zeigt eine Animation dazu.

Abb. 16: Animation

Weblinks

Shingo Nakanishi

https://www.oit.ac.jp/labs/center/nakanishi/img2/258.SVG

Literatur

Walser, Hans (2022): Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren. Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen. Springer Spektrum. ISBN 978-3-662-65131-5 und ISBN 978-3-662-65132-2 (eBook).

Walser, Hans (2024): Der Goldene Schnitt. Geometrische und zahlentheoretische Betrachtungen. 7. Auflage. Springer Spektrum.
Print-ISBN 978-3-662-68556-3. E-Book_ISBN 978-3-662-68557-0.
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68557-0

Walser, Hans (2024): Spirals, Helical Lines, and Spiral-Like Figures. Mathematical Playfulness in Two and Three Dimensions. Springer.
ISBN 978-3-662-68930-1, ISBN 978-3-662-68931-8 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68931-8

Walser, Hans (2024): The Golden Ratio. Geometric and Number Theoretical Considerations. Springer. ISBN 978-3-662-69889-1, ISBN 978-3-662-69890-7 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-69890-7