Hans Walser, [20250616]

Goldener Schnitt

1 Worum es geht

Eine kinematische Überlegung führt zu elliptischen Bahnkurven. Deren Halbachsen sind der Goldene Schnitt.

2 Die Leiter an der Wand

Wir passen zu zwei orthogonalen Geraden eine Strecke mit je einem Endpunkt auf den beiden Geraden ein (Abb. 1). Unter Schulmeistern wird dabei gerne von der „Leiter an der Wand“ gesprochen, dies im Kontext von Aufgaben zum Satz des Pythagoras.

Abb. 1: Leiter an der Wand

Für rechnerische Zwecke verwenden wir die beiden orthogonalen Geraden als Achsen eines kartesischen Koordinatensystems und geben der Strecke die Länge 1.

Wir können die Strecke bewegen (Abb. 2).

Abb. 2: Bewegen der Strecke

3 Quadrat ansetzen

Der Strecke setzen wir ein Quadrat an (Abb. 3).

Abb. 3: Quadrat ansetzen

4 Problemstellung

Wir fragen nach den Bahnkurven der beiden oberen Quadratecken (Abb. 4).

Abb. 4: Bahnkurven

5 Bearbeitung

Die Bahnkurven sind Ellipsen mit den Koordinatengleichungen:

2x² – 2xy + y² = 1

x² – 2xy + 2y² = 1

6 Der Goldene Schnitt

Mit Φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618 wird üblicherweise der Goldene Schnitt bezeichnet.

Die Ellipsen der Bahnkurven haben die Halbachsen Φ und 1/Φ, also das Achsenverhältnis Φ². Die Achsen der ersten Ellipse haben die Steigungen Φ und –1/ Φ, die Achsen der zweiten Ellipse die Steigungen 1/Φ und – Φ.

7 Hintergrund

Die Bahnkurven sind Überlagerungen zweier Kreisbewegungen mit entgegengesetzt gleicher Frequenz und den Radien ½ und ½√5 (Abb. 5).

Abb. 5: Überlagerung zweier Kreisbewegungen

Literatur

Walser, Hans (2024): Der Goldene Schnitt. Geometrische und zahlentheoretische Betrachtungen. 7. Auflage. Springer Spektrum.
Print-ISBN 978-3-662-68556-3. E-Book_ISBN 978-3-662-68557-0.
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68557-0

Walser, Hans (2024): The Golden Ratio. Geometric and Number Theoretical Considerations. Springer. ISBN 978-3-662-69889-1, ISBN 978-3-662-69890-7 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-69890-7