Hans Walser, [20120904]
Grenzpunkte im DIN-Rechteck
Die Rechtecke des DIN-Systems werden zur Visualisierung von Grenzpunkten (Limespunkten) eingesetzt. Zu gegebenen Grenzpunkten kann dabei eine passende Zerlegung des A0-Rechtecks konstruktiv gefunden werden.
Der Hintergrund ist die Dualbruchzerlegung einer reellen Zahl.
Wir denken uns ein A0-Rechteck im Hochformat, das wir durch Halbieren schrittweise unterteilen. Es entsteht eine Folge von Rechtecken A1 (Querformat), A2 (Hochformat), A3 (Querformat), ... , welche das A0-Rechteck ausschšpfen.
In der Regel wird das gemŠ§ Abbildung 1 dargestellt.
Abb. 1: Folge von DIN-Rechtecken
Wir kšnnen die Reihenfolge auch durch Verbindungslinien der Mittelpunkte aufeinander folgender Rechtecke grafisch darstellen.
Rechts oben haben wir den Grenzpunkt. Der Reihenfolgen-Graf mŸndet in den Grenzpunkt.
Die Rechtecke kšnnen auch spiralfšrmig angeordnet werden (Abb. 2).
Abb. 2: Spiralfšrmige Anordnung
Der Grenzpunkt liegt
nun im Innern der Figur. Im Koordinatensystem der Abbildung 3 hat er die
Koordinaten .
Abb. 3: Koordinaten
Diese Koordinaten kšnnen wie folgt berechnet werden.
Die horizontale Gerade
durch den Grenzpunkt trifft genau die Rechtecke im Hochformat. Diese haben die
Breiten . In
unserem Spiralenbeispiel lesen wir fŸr die x-Koordinate des Grenzpunktes ab:
Die vertikale Gerade
durch den Grenzpunkt trifft genau die Rechtecke im Querformat. Diese haben die
Hšhen . In unserem Spiralenbeispiel
lesen wir fŸr die y-Koordinate des
Grenzpunktes ab:
Es gilt:
Die Teilrechtecke kšnnen so angeordnet werden, dass ein beliebig im Innern oder auf dem Rand des A0-Rechteckes vorgegebener Punkt als Grenzpunkt erscheint.
ZunŠchst einige Beispiele.
In der Abbildung 4 ist der Mittelpunkt der Grenzpunkt.
Abb. 4: Mittelpunkt als Grenzpunkt
Etwas irritierend ist zunŠchst, dass die Zerlegung keine Mittelpunktssymmetrie hat. Das kann es aber auch nicht geben, da jedes Teilrechteck genau einmal vorkommt.
Der Grenzpunkt der
Abbildung 5 hat die Koordinaten .
Abb. 5: FŸnftel und Siebtel
Mit den
Grenzpunktkoordinaten erhalten
wir den Goldenen Schnitt am oberen Rand (Abb. 6).
Abb. 6: Goldener Schnitt
In der Abbildung 7 haben
wir den Grenzpunkt .
Abb. 7: Hinkende Spirale
Wir illustrieren das
konstruktive Vorgehen am Beispiel mit den Grenzpunktkoordinaten in mehreren Schritten (Abb.
8).
Abb. 8: Konstruktives Vorgehen
Wir sehen, wie die Katze um den hei§en Brei herumschleicht.
Der anvisierte Grenzpunkt liegt bei diesem Verfahren immer in einem wei§en Restrechteck, welches aber auch DIN-Format hat. Dann wird jeweils diejenige HŠlfte des Restrechtecks mit einem Teilrechteck zugedeckt, welche den Grenzpunkt nicht enthŠlt.
Falls der Grenzpunkt
genau auf eine horizontale oder vertikale Mittelparallele des wei§en
Restrechtecks zu liegen kommt, decken wir die untere beziehungsweise linke
HŠlfte des Restrechtecks zu. Dies ist ein WillkŸrentscheid, der nicht begrŸndet
werden muss. Man kšnnte es auch anders machen. Die Abbildung 9 illustriert dies
fŸr den Grenzpunkt .
Abb. 9: Grenzpunkt auf dem Rand eines Teilrechteckes
Auch das Beispiel mit dem Mittelpunkt als Grenzpunkt (Abb. 4) illustriert das Vorgehen in diesem Sonderfall.
Allgemein tritt dieser
Sonderfall genau dann auf, wenn der Grenzpunkt die Koordinaten mit
oder
oder beides hat.
GemŠ§ unserem
konstruktiven Vorgehen liegen alle querformatigen Teilrechtecke entweder
oberhalb oder unterhalb des Grenzpunktes. Eine horizontale Gerade durch den
Grenzpunk durchschneidet also nur Teilrechtecke im Hochformat. Die
Teilrechtecke im Hochformat haben die Breiten .
Die x-Koordinate des Grenzpunktes setzt
sich also aus einer Auswahl von Summanden aus
zusammen. Die Auswahl ergibt sich durch die Dualbruchentwicklung der x-Koordinate.
Analog wird fŸr die y-Koordinate Ÿberlegt. Dabei muss der
Skalierungsfaktor weggelassen
werden.
Beispiel mit den
Grenzpunktkoordinaten (Abb. 10).
Abb. 10: Illustrationsbeispiel
Dualbruchzerlegungen:
Dualbruch von 0.6 = 0. 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
Dualbruch von 0.8 = 0. 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
Im Dualbruch von 0.6 steht hinter dem Dualpunkt eine 1. Dies beideutet, dass das erste Teilrechteck im Hochformat, also A2, links vom Grenzpunkt liegt. Die beiden nachfolgenden Nullen in der Dualbruchzerlegung bedeuten, dass die beiden folgenden Teilrechtecke im Hochformat, also A4 und A6, rechts vom Grenzpunkt liegen. Das grš§ere der beiden Rechtecke, also A4, liegt nŠher beim Au§enrand des Ausgangsrechteckes A0. Weiter sind A8 und A10 links vom Grenzpunkt, A12 und A14 wieder rechts und so weiter. Da 0.6 eine rationale Zahl ist, haben wir ein periodisches Verhalten.
FŸr die y-Koordinate lŠuft die †berlegung entsprechend.
Bei abbrechendem Dualbruch (Abb. 4 und Abb. 9) kommt der Grenzpunkt auf den Rand eines Teilrechteckes zu liegen.
Unsere Ausschšpfungen des A0-Rechteckes sind also auch Visualisierungen der Dualbruchzerlegung der x-Koordinate und der y-Koordinate.