Hans Walser, [20210124]

Satz von Haga

Idee und Anregung: Alfred Hoehn, Basel

1   Worum geht es?

Herstellung pythagoreischer Dreiecke mittels Origamifalten

2   Erinnerung

Pythagoreische Dreiecke kšnnen wie folgt konstruiert werden: Es seien m und n teilerfremde natźrliche Zahlen ungleicher ParitŠt mit m > n. Dann sind

 

                                                                 (1)

 

 

 

die Seiten eines primitiven pythagoreischen Dreiecks.

 

Die Formeln (1) werden als babylonische Formeln bezeichnet.

Beispiele:

m

n

a

b

c

2

1

3

4

5

3

2

5

12

13

4

1

15

8

17

4

3

7

24

25

5

2

21

20

29

5

4

9

40

41

Tab. 1: Beispiele

Bemerkung ohne Beweis: Mit den babylonischen Formeln kšnnen sŠmtliche pythagoreischen Dreiecke generiert werden.

3   Faltprozess

Die pythagoreischen Dreiecke lassen sich durch Origami-Falten herstellen. Wir illustrieren das Vorgehen exemplarisch fźr den Fall m = 3 und n = 2.

Aus einem Quadratraster schneiden wir ein m×m-Quadrat (Abb. 1a). Am oberen Rand zŠhlen wir von rechts her n Einheiten ab und falten die rechte untere Ecke auf diesen Punkt (Abb. 1b). Von der Oberseite der QuadratflŠche bleiben zwei rechtwinklige Dreiecke sichtbar. Sie sind Šhnlich (gleiche Winkel).

Abb. 1: Ecke Auffalten

Beides sind pythagoreische Dreiecke (Satz von Hages).

Das am linken Rand unten vorstehende kleine Schnipsel ist Šhnlich zu den beiden Dreiecken und damit ebenfalls ein pythagoreisches Dreieck.

4   Beweis

Wir fźhren den Beweis fźr das rechtwinklige Dreieck rechts oben. Seine Seiten bezeichnen wir mit x, y, z (Abb. 2).

Abb. 2: Beweisfigur

Es ist:

 

                                                                   (2)

 

 

 

 

 

 

Das Gleichungssystem (3) hat fźr x, y, z die Lšsungen (auf einen gemeinsamen Nenner gebracht):

 

                                                                      (3)

 

 

 

Somit ist:

 

                                                                   (4)

 

 

 

Wegen (1) hat das Dreieck die Form eines pythagoreischen Dreiecks. Dies war zu zeigen.

 

Literatur

Hoehn, Alfred und Huber, Martin (2005): Pythagoras. Erinnern Sie sich? Zźrich, Orell Fźssli-Verlag 2005. ISBN 3-280-04040-X

Hoehn, Alfred und Walser, Hans (2003): Gittergeometrie und pythagoreische Dreiecke. Praxis der Mathematik (5/45), 215-217.

 

Website

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke falten
https://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dr_falten/Pyth_Dr_falten.htm