Hans Walser, [20250508]
Halbwinkelformel für den Tangens
1 Problemstellung
Aus tan(α) soll
berechnet werden.
2 Winkelhalbierende
Der erste Lösungsweg läuft über die Winkelhalbierende.
Wir arbeiten mit den Daten der Abbildung 1.
Abb. 1: Situation im Einheitskreis
Die blaue Linie ist die Winkelhalbierende des gelben Dreiecks. Diese teilt die Gegenseite im Verhältnis der anliegenden Seiten. Somit ist:
Daraus ergibt sich:
Die Formel findet sich wohl in jeder Formelsammlung.
3 Additionstheorem
Ein zweiter Lösungsweg basiert auf dem Additionstheorem (Doppelwinkelformel) für den Tangens:
Substitution von 2β durch α ergibt:
Auflösen nach tan(½ α) gibt als positive Lösung:
Die beiden Lösungen sind identisch.