Hans Walser, [20151122]

Herzkurve

Idee und Anregung: R. Sch., C.

1     Worum geht es?

Es werden zwei Methoden vorgestellt, die Herzkurve zu gewinnen.

2     Enveloppe

2.1    Vorgehen

Wir wŠhlen einen beliebigen Winkel  und definieren die Punktefolge:

 

                                                               (1)

 

FŸr praktische Zwecke muss man natŸrlich fŸr n eine Obergrenze N festlegen.

Das Polygon  hŸllt die Herzkurve ein.

Die Abbildung 1a zeigt die Situation fŸr  und , bei der Abbildung 1b wurde der Winkel gleich belassen, aber  gewŠhlt.

 

Abb. 1: Herzkurve als Enveloppe

 

2.2    Probleme

So ganz beliebig darf  nicht gewŠhlt werden.

2.2.1   Zyklen

FŸr  und  erhalten wir die nicht sehr umwerfende Figur der Abbildung 2.

 

Abb. 2: Wo ist die Herzkurve?

 

2.2.2   Auslšschung?

FŸr  und  erhalten wir die etwas verschwommene Figur der Abbildung 3.

 

Abb. 3: Verschwommene Figur

 

Ich vermute, dass Auslšschungseffekte daran schuld sind.

3     Drittelpunkte

3.1    Vorgehen

Auf der Strecke  bezeichnen wir mit  den nŠher bei  liegenden Drittelpunkt. Und nun zeichnen wir lediglich diese Drittelpunkte. Die Abbildung 4a zeigt die Situation fŸr  und . In der Abbildung 4b wurde  gewŠhlt.

 

Abb. 4: Drittelpunkte

 

Die Punkte  liegen allerdings nicht optisch aufeinanderfolgend. Die Abbildung 5a zeigt Das Polygon  fŸr  und . In der Abbildung 5b wurde  gewŠhlt.

 

Abb. 5: Polygonzug

 

3.2    Ausrei§er

Die Abbildung 6 zeigt die Punkte fŸr  und . Wir haben offensichtliche Ausrei§er.

 

Abb. 6: Ausrei§er

 

3.3    Verallgemeinerung

Anstelle von (1) definieren wir die Punktfolge:

 

                                                               (2)

 

Die Basis 2 wird durch die allgemeine Basis b ersetzt.

Auf der Strecke  bezeichnen wir mit  nun den nŠher bei  liegenden ersten Teilpunkt bei Unterteilung in  gleiche Teile.

Die Abbildung 7 zeigt die Situation fŸr ,  und .

 

Abb. 7: Sechspass