Hans Walser, [20151122]
Herzkurve
Idee und Anregung: R. Sch., C.
Es werden zwei Methoden vorgestellt, die Herzkurve zu gewinnen.
Wir
wŠhlen einen beliebigen Winkel und
definieren die Punktefolge:
(1)
FŸr praktische Zwecke muss man natŸrlich fŸr n eine Obergrenze N festlegen.
Das
Polygon hŸllt die
Herzkurve ein.
Die
Abbildung 1a zeigt die Situation fŸr und
, bei der Abbildung 1b wurde der Winkel gleich belassen,
aber
gewŠhlt.
Abb. 1: Herzkurve als Enveloppe
So ganz
beliebig darf nicht
gewŠhlt werden.
FŸr und
erhalten
wir die nicht sehr umwerfende Figur der Abbildung 2.
Abb. 2: Wo ist die Herzkurve?
FŸr und
erhalten
wir die etwas verschwommene Figur der Abbildung 3.
Abb. 3: Verschwommene Figur
Ich vermute, dass Auslšschungseffekte daran schuld sind.
Auf der
Strecke bezeichnen
wir mit
den nŠher
bei
liegenden
Drittelpunkt. Und nun zeichnen wir lediglich diese Drittelpunkte. Die Abbildung
4a zeigt die Situation fŸr
und
. In der Abbildung 4b wurde
gewŠhlt.
Abb. 4: Drittelpunkte
Die
Punkte liegen
allerdings nicht optisch aufeinanderfolgend. Die Abbildung 5a zeigt Das Polygon
fŸr
und
. In der Abbildung 5b wurde
gewŠhlt.
Abb. 5: Polygonzug
Die
Abbildung 6 zeigt die Punkte fŸr und
. Wir haben offensichtliche Ausrei§er.
Abb. 6: Ausrei§er
Anstelle von (1) definieren wir die Punktfolge:
(2)
Die Basis 2 wird durch die allgemeine Basis b ersetzt.
Auf der
Strecke bezeichnen
wir mit
nun den
nŠher bei
liegenden
ersten Teilpunkt bei Unterteilung in
gleiche
Teile.
Die
Abbildung 7 zeigt die Situation fŸr ,
und
.
Abb. 7: Sechspass