1 Problemstellung

Wie kann ein Hexagonalraster (Sechseckraster, Bienenwabenmuster, Abb. 1) so mit sieben Farben gefärbt werden, dass jeweils jedes Sechseck umgeben ist von Sechsecken mit den sechs anderen Farben?

Abb. 1: Hexagonalraster

2 Lösung

Abb. 2: Eine Lösung

Gleichfarbige Sechsecke bilden ein Dreiecksraster.

3 Parkettstein

Aus dem Parkett der Abbildung 2 schneiden wir einen Rhombus heraus (Abb. 3). Seine Ecken sind die Mittelpunkt von vier gleichfarbigen Hexaedern.

Abb. 3: Rhombus

Die Abbildung 4a zeigt diesen Rhombus separat. Er ist der minimale Parkettstein, mit dem das Parkett inklusive Färbung erzeugt werden kann. Fünf der sieben Hexaeder sind angeschnitten, aber der fehlende Teil kommt jeweils an der gegenüberliegenden Seite vor. Daher sind die Flächenanteile aller sieben Farben gleich.

Abb. 4: Parkettstein

Wir deformieren den Rhombus zum Quadrat (Abb. 4b). Damit können ebenfalls Parkette mit gleichen Flächenanteilen der sieben Farben ausgelegt werden (Abb. 5).

Abb. 5: Parkett mit gleichen Farbanteilen

4 Torus

Wir identifizieren im quadratischen Parkettstein gegenüberliegende Seiten (Abb. 6). Dadurch erhalten wir einen Torus mit einer Unterteilung in sieben Sechsecke (auf dem Torus sind sie nicht mehr kongruent) so dass jedes Sechseck mit jedem der sechs anderen eine Kante gemeinsam hat. Das ist auch die Topologie des Szilassi-Polyeders.

Vorgehen: Zuerst die beiden orangen Kanten identifizieren. So entsteht ein Zylinder. Dieser Schritt ist mit einem auf Papier ausgedruckten Parkettstein verzerrungsfrei machbar. Dann den Zylinder zu einem gebogenen Rohr verbiegen, bis die violetten Enden aneinanderstoßen. Dieser Schritt ist mit Papier nicht mehr machbar.

Abb. 6: Torus

Die Abbildung 7 ist eine Modifikation der Abbildung 6.

Abb. 7: Modifikation

Diese Figur ist weitgehend „orthogonalisiert“. Die Eckpunkte liegen alle auf einem -Quadratgitter (Abb. 8). Das erleichtert die Programmierarbeit für die 3d-Darstellungen.