Hans Walser, [20250708]

Höhenschnittpunkt

Anregung: Hartmut Müller-Sommer, Vechta

1     Worum es geht

Berechnung des Höhenschnittpunktes als gewichtetes Mittel.

2     Theorem

In einem beliebigen Dreieck ABC mit den Innenwinkeln α, β, γ und dem Höhenschnittpunkt H gilt:

 

           

 

3     Höhenschnittpunkt

Wir passen zum Dreieck ABC ein Koordinatensystem ein so dass A[–1, 0] und B[1, 0]. Der Eckpunkt C hat dann die allgemeinen Koordinaten C[x, y].

In diesem Koordinatensystem ergibt sich für den Höhenschnittpunkt H mit wenig Rechnung:

 

           

 

4     Beweis der Formel mit den gewichteten Ecken

Im oben definierten Koordinatensystem wird zunächst:

 

           

 

Den Winkel γ unterteilen wir mit der Höhe hc in zwei Teilwinkel γ1 und γ2. Für diese gilt:

 

           

 

Dies sind die Kehrwerte von tan(α) und tan(β). Wegen

 

           

 

und dem Additionstheorem

 

           

 

ergibt sich:

 

           

 

Nun berechnen wir die Linearkombination:

 

           

 

Einsetzen der obigen Daten liefert:

 

           

 

Dies ist aber der Höhenschnittpunkt H.