Hans Walser, [20190829]
HŸpfball
Anregung: Capelli 2018, S. 81, Aufg. 256
Die Abbildung 1 zeigt das (vereinfachte) Weg-Zeit-Diagramm eines senkrecht auf- und abspringenden HŸpfballes. Die horizontale Achse ist die Zeitachse. Die vertikale Achse gibt die jeweilige HŸpfhšhe.
Abb. 1: HŸpfball
Die Vereinfachung besteht darin, dass die Deformationszeit zwischen Aufprall und Absprung vernachlŠssigt wird.
Die Hšhen
der Parabelbšgen reduzieren sich als Folge der verbrauchten Deformationsenergie
von Bogen zu Bogen um 25%. Die Hšhen bilden also eine geometrische Folge mit
dem Faktor .
In der Abbildung 2 sind die Hochpunkte der Parabelbšgen eingezeichnet.
Abb. 2: Hochpunkte
Auf welcher Kurve liegen diese Hochpunkte?
Die Hšhen dieser Hochpunkte nehmen exponentiell ab. Daraus kšnnte man vermuten, dass die Hochpunkte auf einer Exponentialkurve liegen.
Dies wŠre dann richtig, wenn die horizontalen AbstŠnde zwischen den Hochpunkten konstant wŠren.
Nun ist
es aber so, dass die Spannweiten der Parabelbšgen abnehmen, und zwar mit dem
Faktor . Dies kann durch horizontale Schnitte durch die
Standardparabel eingesehen werden.
Wir haben also in der horizontalen Richtung ein differentiell exponentielles und damit auch global ein exponentielles Wachstum.
Wie verhŠlt sich eine Kurve, deren Parameterdarstellung sowohl fŸr die x-Koordinate wie auch fŸr die y-Koordinate eine Exponentialfunktion ist?
Bei zwei gleichen Exponentialfunktionen haben wir die Gerade y = x.
(1)
Nun ist:
(2)
Wir haben
es also mit einer Potenzfunktion mit dem Exponenten zu tun.
Die zugehšrige Kurve ist eine verallgemeinerte Parabel.
(3)
Wir
erhalten den rechten Ast einer quadratischen Parabel (Abb. 3 fŸr ). FŸr
erhalten
wir den Ursprung, fŸr
den Punkt
mit den Koordinaten
.
Abb. 3: Parabelast
Mit einiger Rechnung erhalten wir fŸr die Kurve durch die Hochpunkte des Diagramms des HŸpfballs die Gleichung:
(4)
Es handelt sich also um eine quadratische Parabel (Abb. 4).
Abb. 4: Die Hochpunkte liegen auf einer quadratischen Parabel
Die Parabel hat eine Nullstelle (Abb. 5) bei
(5)
Abb.5: Nullstelle
Die HŸpferei kommt nach unendlich vielen Bšgen aber in endlicher Zeit zum Stillstand.
Die
Abbildung 6 zeigt die Situation fŸr .
Abb. 6: Variante
Literatur
Capelli Bruno, DPK Deutschschweizerische Physikkommission (2018): Physik anwenden und verstehen. Orell FŸssli. ISBN 978-3-280-04009-6.