Hans Walser, [20250718]

Inhaltsgleiche Figuren

1 Worum es geht

Spielerei um Flächeninhalt und Volumen

2 Kugel und Zylinder

In der Abbildung 1 sehen wir eine Kugel auf einem Zylinder. Kugel und Zylinder haben den Radius 1. Der Zylinder hat die Höhe 4/3. Kugel und Zylinder haben daher denselben Volumeninhalt.

Abb. 1: Volumengleiche Körper

3 Achsenschnitt

Im Achsenschnitt (Abb. 2) ist der Flächeninhalt des Schnittkreises durch die Kugel größer als der Flächeninhalt des Schnittrechtecks durch den Zylinder.

Abb. 2: Achsenschnitt

4 Parallele Schnitte

Wir schneiden die Figur mit einer Parallelebene zur Achsenschnittebene (Abb. 3). Die Achsenschnittebene ist gelb, die Parallelschnittebene zyan.

Abb. 3: Parallele Schnitte

Die Abbildung 4 zeigt die Situation in der Schnittebene. Mit zunehmendem Abstand von der Achsenschnittebene werden die Figuren kleiner. Knapp vor dem Abstand 1 ist der Flächeninhalt des Schnittkreises durch die Kugel deutlich kleiner als der Flächeninhalt des Schnittrechtecks durch den Zylinder.

Abb. 4: Parallele Schnitte

Es muss daher (mindestens) eine Position geben, in welcher die beiden Flächeninhalte kleiner sind. Also eine Art Kipppunkt.

5 Berechnung des Kipppunktes

Der Animationsparameter t der Animation den Abbildungen 3 und 4 sei der Abstand der aktuellen Schnittebene von der Achsenschnittebene. Der Parameter t variiert von 0 bis 1.

Für den Schnittkreis mit der Kugel erhalten wir den Flächeninhalt:

Für das Schnittrechteck mit dem Zylinder erhalten wir den Flächeninhalt:

Gleichsetzen liefert für den Kipppunkt den Parameterwert:

Die Abbildung 5 zeigt die Situation im Kipppunkt. Die beiden Schnittfiguren haben denselben Flächeninhalt.

Abb. 5: Gleiche Flächeninhalte

Die Abbildung 6 zeigt die Achsenschnittebene und die parallele Schnittebene im Kipppunkt.

Abb. 6: Die beiden Schnittebenen

Die Animation der Abbildung 7 zeigt nochmals das Verhalten der Schnittfiguren mit einem Zwischenstopp im Kipppunkt.

Abb. 7: Parallelschnitte