Hans Walser, [20241026]

Inkreise

1 Worum es geht

Spielerei mit Inkreisen

Falsche Vermutungen

2 Ausgangslage

In ein Rechteck mit der Länge s = √2 – 1 + √(–1 + 2√2) ≈ 1.766407011 und der Höhne h =1 zeichnen wir zwei Viertelkreise (Abb. 1). Die Viertelkreise haben also den Radius 1.

Abb. 1: Rechteck mit zwei Viertelkreisen

Die Viertelkreise unterteilen das Rechteck in vier Gebiete.

Gesucht sind die Inkreise dieser vier Gebiete (Abb. 2). Dabei muss auch die Frage geklärt werden, ob die beiden Vierecke tatsächlich einen Inkreis haben.

Abb. 2: Inkreise

3 Bearbeitung

3.1 Inkreis der Vierecke

Wir zeichnen zunächst nur einen Viertelkreis und seinen Inkreis (blau in Abb. 3).

Abb. 3: Inkreis im Viertelkreis

Da der Viertelkreis den Radius 1 hat, ergibt sich für den Radius r₃ des blauen Inkreises die Bedingung:

r₃ + r₃√2 = 1

Damit wird:

r₃ = √2 – 1 ≈ 0.414

Wir müssen nun noch zeigen, dass der blaue Inkreis auch den anderen Viertelkreis berührt. Dazu arbeiten wir mit dem in der Abbildung 4 eingezeichneten blauen rechtwinkligen Dreieck.

Abb. 4: Berührung mit dem zweiten Viertelkreis

Das blaue rechtwinklige Dreieck hat die lange Kathete s – r₃ und die kurze Kathete r₃. Einsetzen der gegebenen beziehungsweise bekannten Daten für s und r₃ liefert für die Hypotenuse c mit dem Satz des Pythagoras mit einiger Rechnung:

c² = (s – r₃)² + r₃²

c² = (√2 – 1 + √(–1 + 2√2) – (√2 – 1))² + (√2 – 1)²

c² = 2

c = √2

Das Resultat ist bemerkenswert. Weiter ist:

c = 1 + √2 – 1

c = 1 + r₃

Damit berührt der blaue Inkreis auch den zweiten Viertelkreis.

Der Autor ist natürlich umgekehrt vorgegangen: er hat die Länge s des Rechteckes so bestimmt, dass der zweite Viertelkreis berührt wird.

3.2 Inkreis unten Mitte

Für den Radius r₁ des roten Inkreises unten Mitte (Abb. 5) arbeiten wir mit dem eingezeichneten roten rechtwinkligen Dreieck.

Abb. 5: Inkreis unten Mitte

Das rote rechtwinklige Dreieck unten Mitte hat die Hypotenuse 1 – r₁ und die Katheten r₁ sowie ½ s. Damit erhält man mit einiger Rechnung:

r₁ = 1/4 + ((–√2 + 1) √(2√2 – 1))/4 ≈ 0.101

3.3 Inkreis oben Mitte

Für den Radius r₂ des magenta Inkreises oben Mitte (Abb. 6) arbeiten wir mit dem eingezeichneten magenta rechtwinkligen Dreieck.

Abb. 6: Inkreis oben Mitte

Das magenta rechtwinklige Dreieck unten Mitte hat die Hypotenuse 1 + r₂ und die Katheten 1 – r₂ sowie ½ s. Damit erhält man:

r₂ = 1/8 + ((√2 – 1)√(2√2 – 1))/8 ≈ 0.195

4 Ein weiterer Kreis

Es ist:

r₁ + 2 r₂ = ½

Das heißt, dass wir zwischen den roten Inkreis unten Mitte und den magenta Inkreis oben Mitte exakt einen weiteren Kreis mit dem Radius r₂ einpassen können (magenta in Abb. 7).

Abb. 7: Ein weiterer Kreis

5 Falsche Vermutungen

Die Zeichnung (Abb. 7) suggeriert zwei Vermutungen:

(1) Die Mittelpunkte des neu eingepassten magenta Kreises und der beiden blauen Inkreise liegen auf einer Geraden.

(2) Die bauen Inkreise und der magenta Inkreis oben Mitte berühren sich, und zwar auf den Viertelkreisen.

Abb. 8: Falsche Vermutungen

Beide Vermutungen sind falsch (Falsifikation durch Nachrechnen).