Hans Walser, [20100615c]
Inparabeln
Anregung: [Gšbels 2010]
Einem Dreieck werden Parabeln einbeschrieben. Dies geschieht am elegantesten unter Verwendung von BŽzier-Kurven. Es ergeben sich aber mehrere andere Mšglichkeiten, diese Parabeln zu bestimmen.
Die Brennpunkte und Leitlinien der drei Parabeln fŸhren zu zwei Schnittpunkten und einem FŸnfpunktekreis im Dreieck.
Unter der
Inparabel eines Dreieckes
verstehen wir die
BŽzier-Kurve zweiten Grades mit den StŸtzpunkten
(Indizes modulo
3).
Die
Abbildung zeigt links die Inparabel , rechts alle drei Inparabeln.
Inparabeln
BŽzier-Kurven zweiten Grades sind Parabeln (zweiten Grades) im Sinne der Kegelschnitte. Der Name Inparabel ist also in unserem Kontext gerechtfertigt.
Vorsicht: In der grafischen Praxis werden in der Regel BŽzier-Kurven dritten Grades verwendet. Diese benštigen vier StŸtzpunkte und sind in der Regel keine Parabeln dritten Grades. Wir kšnnen die vier StŸtzpunkte sogar nichtplanar wŠhlen, dann ist auch die zugehšrige BŽzier-Kurve nicht eben.
Unsere BŽzier-Kurven zweiten Grades kšnnen als Parameterkurven dargestellt werden:
Die
Parabel berŸhrt die Seite
im Punkt
, die Seite
im Punkt
und die
Mittelparallele
im Schnittpunkt
mit
der Schwerlinie
. Dies ergibt sich aus dem Casteljau-Algorithmus der
BŽzier-Kurven. Entsprechendes gilt fŸr die Inparabeln
und
.
BerŸhrungen
Damit haben wir schon 6 Bedingungen, welche die Parabel als Kegelschnitt festlegen. TatsŠchlich ist ein Kegelschnitt durch 5 Bedingungen festgelegt, unsere 6 Bedingungen sind also redundant.
Das Konzept der Inparabeln lŠsst sich auf beliebige, auch nicht konvexe, Polygone verallgemeinern. Als Beispiele ein Viereck und ein regelmŠ§iges Pentagramm.
Inparabeln in Viereck und Pentagramm
Aus dem Casteljau-Algorithmus der BŽzier-Kurven ergibt sich die Darstellung der Inparabeln als Enveloppe oder ãFadengrafikÒ. FŸr die Ansatzpunkt der FŠden werden die Dreiecksseiten regelmŠ§ig in je gleich viele Teile unterteilt. Als Beispiele und Bastelanleitungen das gleichseitige Dreieck und das Quadrat.
Fadengrafik im Dreieck
Fadengrafik im Quadrat
Wir
kehren zunŠchst das Problem um und zeichnen zur Schulparabel ein passendes
Dreieck. Dies geschieht durch zwei Tangenten mit BerŸhrpunkten
und
. Die beiden Tangenten schneiden sich in
.
Das Dreieck wird passend gemacht
Nun ist
es eine alt gediente Schulaufgabe, zu zeigen, dass die x-Koordinate von der Mittelwert
der x-Koordinaten von
und
ist. Die
Schwerlinie
des Dreieckes ist
also parallel zur Parabelachse. Da alle Parabeln Šhnlich sind, folgt, dass die
Symmetrieachse der Inparabel jeweils parallel zur entsprechenden Schwerlinie
ist.
Den
Brennpunkt der Inparabel finden wir nun
Ÿber die Reflexionseigenschaft der Parabel. Wir legen Parallelen zu
durch die Punkte
und
und spiegeln
diese Parallelen an
beziehungsweise an
. Die beiden reflektierten Geraden schneiden sich im Brennpunkt
.
Zwei Geraden in allgemeiner Lage schneiden sich in einem Punkt. Wenn dies drei Geraden tun, ist das bemerkenswert wie zum Beispiel bei den drei Hšhen im Dreieck (vgl. [Walser 2004]). Einen solchen bemerkenswerten Schnittpunkt finden wir im Parallelogrammraster. Wir zeichnen einige Diagonalen ein und spiegeln gemŠ§ Figur. Die Spiegelbilder der drei Diagonalen schneiden fokussieren auf denselben Punkt. Der Beweistipp liegt in der Formulierung ãfokussierenÒ.
Schnittpunkt mit gespiegelten Diagonalen
Die
Parallele zu durch den
Brennpunkt
ist nun die
Symmetrieachse. Wir kšnnen nun die Punkte
und
an dieser
Symmetrieachse spiegeln und erhalten
und
. Zusammen mit dem Punkt
haben wir nun insgesamt
fŸnf Punkte auf der Parabel. Damit ist der Kegelschnitt definiert und kann entsprechend
zum Beispiel mit DGS gezeichnet werden.
Konstruktion mit DGS
Der
Brennpunkt , die Punkte
und
sowie der
Umkreismittelpunkt U des Dreieckes
liegen ihrerseits
auf einem Kreis. Dies kann mit WinkelŸberlegungen als Folge der Reflexionskonstruktion
des Brennpunktes
eingesehen
werden.
Punkte auf einem Kreis
Die Brennpunkte der drei Inparabeln sowie der Umkreismittelpunkt liegen auf einem Kreis. Verifikation durch DGS, Beweis fehlt.
Noch ein Kreis
Weiter
ist es so, dass die drei Geraden ,
und
sich in einem
gemeinsamen Punkt F schneiden. Dieser
Punkt liegt ebenfalls auf dem Kreis durch die drei Brennpunkte, und zwar
diametral zum Umkreismittelpunkt U.
Verifikation durch DGS, ohne Beweis. Wir haben also einen FŸnfpunktekreis. FŸr
einen weitere FŸnfpunktekreise im Dreieck siehe [Walser 2009].
Ein Schnittpunkt
Die
Leitlinien der drei
Inparabeln bilden das Leitliniendreieck
gemŠ§ Figur. Die
drei Geraden
,
und
schneiden
sich in einem gemeinsamen Punkt L.
Verifikation DGS, ohne Beweis.
Leitliniendreieck und kopunktale Geraden
Wir
spiegeln den Seitenmittelpunkt an der
Dreiecksecke
und erhalten so
den Punkt
. Die Inparabel des Dreieckes
ist dann die
Umparabel
des Dreieckes
. Sie verlŠuft durch alle drei Ecken.
Die Figur zeigt die drei Umparabeln.
Umparabeln
Zur Zeit ist es wieder Mode geworden, im Schulunterricht zu ãmodellierenÒ.
Zur Modellierung von Kurven werden die Funktionsgrafen von Polynomfunktionen strapaziert, obwohl Funktionsgrafen das denkbar schlechteste Werkzeug zur Kurvenmodellierung sind. Kein Kreis lŠsst sich so darstellen, ja nicht einmal eine senkrechte Gerade. Besser geeignet wŠren parametrisierte Darstellungen von Kurven. Ein Sonderfall dazu sind BŽzier-Kurven (meist dritten Grades, vgl. Beispiel), welche in jeder Grafiksoftware implementiert sind.
BŽzier-Kurve dritten Grades
Das Problem liegt im Funktionsbegriff, indem es zu einem x nicht zwei verschiedene y geben darf (SchŸlersprache). Es muss also eine Richtung geben, in der die Kurve nur einmal geschnitten wird.
Ein weiteres Problem ist, dass die physikalischen und statischen Gegebenheit es oft nicht zulassen, im Schulunterricht eine korrekte Lšsung zu erarbeiten. Daher wird dann nur noch der Šu§ere Schein modelliert. Ich habe tatsŠchlich schon ArbeitsblŠtter gesehen, in denen eine zwischen zwei AufhŠngepunkten durchhŠngende Kette durch eine quadratische Parabel modelliert werden sollte. Da das echte Problem, eine Variationsaufgabe, zu schwierig ist, greift man zur NŠherungslšsung. Allerdings kšnnte ebenso gut der Kreis als NŠherungslšsung verwendet werden.
Die durchhŠngende Kette mit NŠherungslšsungen
Da BŽzier-Kurven erst in der Mitte des letzten Jahrhunderts entwickelt wurden, haben sie noch kaum Eingang in den Schulunterricht gefunden. Dabei wŠren sie eine ideale Mšglichkeit, Parameterdarstellungen allgemein und insbesondere die Parameterdarstellung der Geraden sowie die binomische Formel zu vertiefen.
Ein sehr schšnes Arbeitsheft dazu ist [Dzung Wong 2003].
Literatur
[Dzung Wong 2003] Dzung Wong, Baoswan: BŽzierkurven gezeichnet und berechnet. ZŸrich: Orell FŸssli 2003. ISBN 3-280-04021-3
[Gšbels 2010] Gšbels, Wolfgang: Einbeschriebene und umhŸllende Parabeln. MNU Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 63/3 (15. 4. 2010), S. 152-154, ISSN 0025-5866, © Verlag Klaus Seeberger, Neuss.
[Walser 2004] Walser, Hans: 99 Schnittpunkte. Beispiele – Bilder – Beweise. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2004. ISBN 3-937219-10-2
[Walser 2009] Walser, Hans: FŸnfpunktekreise. MNU Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 62/3 (15. 4. 2009), S. 146, ISSN 0025-5866 .