Hans Walser, [20220522]
Invarianter Schwerpunkt
Wir beginnen mit einem Dreieck, dessen Seiten wir in gleichen Verhältnissen unterteilen (Abb. 1).
Abb. 1: Unterteilung der Seiten
Die Teilpunkte verbinden wir zu einem Dreieck (Abb. 2).
Abb. 2: Kleines Dreieck
Zunächst zeichnen wir nun den Schwerpunkt des großen Dreieckes (Abb. 3).
Abb. 3: Schwerpunkt im großen Dreieck
Und dann den Schwerpunkt im kleinen Dreieck (Abb. 4 und 5). Die beiden Schwerpunkte fallen zusammen.
Abb. 4: Zusammenfallende Schwerpunkte
Abb. 5: Geometrie ist schön
Die Lage des Schwerpunktes des kleinen Dreieckes ist invariant gegenüber einer Veränderung des Teilverhältnisses der Seiten des großen Dreieckes (Abb. 6 und 7).
Abb. 6: Invarianter Schwerpunkt
Abb. 7: Invarianter Schwerpunkt
Die Situation ist ein Sonderfall eines allgemeineren Sachverhaltes über invariante Schwerpunkte.
Die verwendeten Begriffe und Konstruktionen sind invariant gegenüber affinen Abbildungen. Wir können uns also auf ein reguläres (gleichseitiges) Start-Dreieck beschränken (Abb. 8). Im regulären Start-Dreieck folgt der Sachverhalt aus Symmetriegründen.
Abb. 12: Reguläre Situation
Weblink
Hans Walser: Invarianter Schwerpunkt
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Invarianter_Schwerpunkt/Invarianter_Schwerpunkt.htm