Hans Walser, [20260123]
Invarianter Vektor
1 Worum es geht
Mantelflächenberechnung einer Pyramide
Invarianz eines Summenvektors
2 Konstruktion
Wir beginnen mit 17 Punkten in der Ebene, welche ein regelmäßiges 17-Eck bilden (schwarz in Abb. 1). Auf der Achse des 17-Ecks zeichnen wir einen weiteren Punkt (blau in Abb. 1).
Abb. 1: Basispunkte und ein weiterer Punkt.
Wir ergänzen die Punkte mit Dreiecken zu einem Pyramidenmantel (Abb. 2).
Abb. 2: Pyramidenmantel
Zu jedem Dreieck zeichnen wir in der Pyramidenspitze einen Vektor, welcher senkrecht zur Dreiecksfläche steht und dessen Länge gleich groß ist wie der Flächeninhalt des Dreiecks (Abb. 3).
Abb. 3: Normalvektoren
Nun setzen wir diese Vektoren zu einem Summenvektor zusammen (Abb. 4).
Abb. 4: Summenvektor
Die Abbildung 5 zeigt die Sicht von oben.
Abb. 5: Sicht von oben
3 Diskussion
Die kleinen Vektoren setzen sich approximativ zu einer Schraubenlinie zusammen. Die Länge der Schraubenlinie entspricht der Mantelfläche der Pyramide.
Der blaue Summenvektor ist eine Mantellinie des Trägerzylinders der Schraubenlinie. Er markiert die Ganghöhe der Schraubenlinie
4 Invarianter Vektor
Der blaue Summenvektor bleibt invariant, wenn wir den blauen Punkt bewegen. Die Basispunkte werden aber beibehalten.
4.1 Auf- und Ab-Bewegung
Bei einer Bewegung der blauen Pyramidenspitze ändert die Mantelfläche der Pyramide. Entsprechend ändert sich die Länge der Schraubenlinie. Die Ganghöhe der Schraubenlinie bleibt aber erhalten, lediglich der Radius der Schraubenlinie ändert sich. Im Sonderfall des blauen Punktes in der Ebene des 17-Ecks fällt die Schraubenlinie mit dem blauen Vektor zusammen. Die Länge es blauen Vektors entspricht daher der Grundfläche der Pyramide.
Abb. 6: Auf und Ab-Bewegung
4.2 Seitwärtsbewegung
Bei der Seitwärtsbewegung (Abb. 7) verändern sich die einzelnen Dreiecksflächen des Mantels der Pyramide ungleich. Entsprechend verändern sich die kleinen Vektoren ungleich. Wir haben keine Schraubenlinie mehr.
Abb. 7: Seitwärtsbewegung
Die kleinen Vektoren (zum Beispiel die grünen) schauen bei diesem Prozess teilweise nach unten, weil die zugehörigen Manteldreiecke überhängend werden. In der Projektion auf die Grundebene sind sie dann andersherum orientiert und müssen zur Berechnung der Grundfläche negativ genommen werden.
4.3 Schräge Bewegung
Abb. 8: Schräge Bewegung
5 Ausblick und Verallgemeinerung
5.1 Sternpyramiden
Die Abbildung 9 bis 12 zeigen Stern-Pyramiden jeweils in der Ansicht und in der Sicht von unten. Die Mantelflächen sind selbstdurchdringend. Die Grundfläche ist ein Stern mit veränderlichem algebraischen Flächeninhalt. Daher ändert auch die Länge des blauen Vektors. Wir haben eine mehrfache Schraubenlinie.
Abb. 9: Stern-Pyramide mit doppelter Schraubenlinie
Abb. 10: Sternpyramide mit dreifacher Schraubenlinie
Abb. 11: Sternpyramide mit vierfacher Schraubenlinie
Abb. 12: Extremes Beispiel. Sternpyramide mit achtfacher Schraubenlinie
Die Abbildung 13 gibt eine Kinematik.
Abb. 13: Kinematik
5.2 Keine ebene Basis
Im Beispiel der Abbildung 14 sind die Basispunkte nicht mehr in einer Ebene. Der blaue Summenvektor ist schief, aber invariant.
Abb. 14: Verallgemeinerung