Hans Walser, [20200109]

Invarianzbeweis fźr den Satz des Pythagoras

1   Worum geht es?

Invarianzbeweis unter Verwendung der Differentialrechnung

2   Erinnerung

Aus  ergibt sich . Die Abbildung 1 gibt eine Visualisierung dieses Sachverhaltes.

Abb. 1: Zuwachs beim Quadrat

Es ist:

 

                                                                                 (1)

 

 

 

Und nun kommt der schmutzige Trick von Newton: wir lassen das  einfach weg. Es ist ăvon hšherer Ordnung kleinŇ. Somit ergibt sich ein Zuwachs . Es ist also:

 

                                                                                                             (2)

 

 

 

Entsprechend ist:

 

                                                                                     (3)

 

 

 

3   Rechtwinkliges Dreieck

Nun gehen wir zum rechtwinkligen Dreieck ABC mit den Katheten a und b (Abb. 2).

 

Abb. 2: VerŠnderung der Ecke C

Wir verschieben die Ecke C auf dem Thaleskreis nach rechts zu . Dadurch werden die Kathete a kleiner und die Kathete b grš§er.

Da das gelbe und das kleine violette Dreieck Šhnlich sind (gleiche Winkel) und beide Dreiecke bei einer nur kleinen Verschiebung in etwa Šhnlich zum rechtwinkligen Dreieck ABC, haben wir:

 

                                                                                                                       (4)

 

 

 

Das Minuszeichen ergibt sich daraus, dass a kleiner wird, hingegen b grš§er.

Wenn die Verschiebung infinitesimal klein ist, gilt:

 

                                               , also                                          (5)

 

 

 

Wir setzen (5) in (3) ein und erhalten:

 

                                                                           (6)

 

 

 

Die Summe  ist also an jeder Stelle lokal und damit global konstant. Wir haben eine Invariante bei Verschiebung des Punktes C auf dem Thaleskreis.

Im Grenzfall  ergibt sich fźr die Invariante der Wert .

 

Websites

Hans Walser: Invarianzbeweis fźr den Satz des Pythagoras

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Invarianzbeweis_Pythagoras/Invarianzbeweis_Pythagoras.htm