Hans Walser, [20170322]
Irrationale Zahlen
1 Worum geht es?
Es wird versucht, die Existenz nicht rationaler Zahlen ohne indirekten Beweis zu fźhren.
2 Rationale Zahlen im Dezimalsystem
Rationale Zahlen (ăBrźcheŇ) haben im Dezimalsystem entweder eine abbrechende oder dann eine periodische Dezimalbruchentwicklung.
Fźr die
Umrechnung eines Bruches 
in einen
Dezimalbruch kann mit dem Dirichletschen
Schubfachprinzip (pigeonhole
principle) gezeigt werden, dass die PeriodenlŠnge
hšchstens q – 1 betrŠgt. Da
beim stellenweisen Divisionsalgorithmus nur Reste aus {0, 1,
... , q – 1} auftreten kšnnen,
muss sich bei einem nicht abbrechenden Beispiel spŠtestens nach q – 1 Schritten ein frźherer Rest
wiederholen. Damit fŠngt die Periode an.
Ein endlicher Dezimalbruch kann zunŠchst als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner geschrieben und dann allenfalls gekźrzt werden. Ein periodischer Dezimalbruch x der PeriodenlŠnge k wird zunŠchst mit 10k multipliziert. Davon wird x subtrahiert und schlie§lich kann x als Bruch mit dem Nenner 10k – 1 geschrieben werden. Der ZŠhler ist dann schlimmstenfalls eine Dezimalzahl mit abbrechender Entwicklung. Durch geeignetes Erweitern kann ein Bruch mit ganzzahligem ZŠhler und Nenner erreicht werden.
Beispiel:
(1)
Die PeriodenlŠnge k ist 3. Wir multiplizieren mit 103 = 1000.
(2)
Wir subtrahieren (1) von (2).
(3)
Somit ist:
(4)
3 Nicht rationale Zahlen im Dezimalsystem
Ein nicht abbrechender aperiodischer Dezimalbruch ist keine rationale Zahl. Ein Beispiel ist:
(5)
Es handelt sich hier um die Reihe:
(6)
Die AperiodizitŠt ist offensichtlich.