Hans Walser, [20080816a]
Irrationaler Goldener Schnitt
Anregung: J. N.
1 Worum es geht
Der
goldene Schnitt mit 
und 
ist irrational.
Es werden einige grafisch-geometrische Folgerungen daraus gezogen. Als Kontrast
wird jeweils das entsprechende Beispiel mit den rationalen Zahlen 
und 
bearbeitet.
2 Punktraster
2.1 Eindimensionale Punktreihen
2.1.1 AbstandsverhŠltnis im goldenen Schnitt
Die folgende Figur zeigt separat zwei eindimensionale Punktreihen (blau und rot) mit dem AbstandsverhŠltnis des goldenen Schnittes. In der †berlagerung der beiden Reihen stimmen die Anfangspunkte źberein, aber alle weiteren Punkte stimmen nicht źberein, und das gilt auch, wenn wir die Reihen beliebig weit fortsetzen. Die †berlagerung der beiden Reihen ist aperiodisch.
Punktreihen im AbstandsverhŠltnis des goldenen Schnittes
2.1.2 Rationales AbstandsverhŠltnis
Wenn wir
hingegen das rationale AbstandsverhŠltnis 
wŠhlen, kommen
auf drei AbstŠnde in der blauen Reihe genau fźnf AbstŠnde in der roten Reihe,
und die entsprechenden Punkte liegen wieder exakt aufeinander.
Rationales AbstandsverhŠltnis
Die †berlagerung der beiden Reihen ist also periodisch.
2.2 Zweidimensionale Punktraster
2.2.1 Maschenweiten im VerhŠltnis des goldenen Schnittes
Die folgende Figur zeigt die †berlagerung zweier quadratischer Punktraster, deren Maschenweite im VerhŠltnis des goldenen Schnittes steht. Der †berlagerungsraster ist aperiodisch. Nur die Punkte links unten stimmen źberein.
Maschenweiten im VerhŠltnis des goldenen Schnittes
2.2.2 Rationales VerhŠltnis der Maschenweite
Bei einem rationalen VerhŠltnis der Maschenweite ergibt sich ein periodischer †berlagerungsraster.
Rationales VerhŠltnis der Maschenweite
3 Sinusfunktionen
3.1 Frequenzen im VerhŠltnis des goldenen Schnittes
Die Figuren zeigen einzeln zwei Sinuswellen, deren Frequenzen im VerhŠltnis des goldenen Schnittes stehen. Jede der beiden Wellen ist periodisch.
Frequenzen im VerhŠltnis des goldenen Schnittes
Die additive †berlagerung der beiden Wellen ist aperiodisch.
Aperiodische additive †berlagerung
3.2 Rationales FrequenzenverhŠltnis
Nun arbeiten wir mit Frequenzen in einem rationalen VerhŠltnis.
Frequenzen in rationalem VerhŠltnis
Die additive †berlagerung ist periodisch. Die PeriodenlŠnge ist das kleinste gemeinsame Vielfache der PeriodenlŠngen der einzelnen Funktionen.
Periodische †berlagerung
4 Bemerkungen
Die
vorstehenden †berlegungen kšnnen auch mit einer anderen irrationalen Zahl, zum
Beispiel mit 
, durchgefźhrt werden.
Da der Computer nur mit einer endlichen Stellenzahl rechnet, kennt er eigentlich keine irrationalen Zahlen. Die computergenerierten Figuren sind daher nur nŠherungsweise richtig.