1 Worum es geht

Tetraeder, dessen vier Seitenflächen kongruente Dreiecke sind. Daher die Bezeichnung isoederisch.

2 Dreieck mit drei verschiedenen Seiten

In den Beispielen wird oft mit dem Dreieck mit dem Kantenlängen a = 4, b = 5, c = 6 gearbeitet.

2.1 Topologie

Wir markieren die drei Dreiecksseiten in rot (in den Beispielen die kürzeste Kante), in grün (Kante mittlerer Länge) und in blau (längste Kante).

Für die Visualisierung der Topologie verwenden wir ein Schlegel-Diagramm des Tetraeders (Abb. 1).

Abb. 1: Schlegel-Diagramm des Tetraeders

Wir nehmen an, die unterste Kante sei rot. Dann kommen für die Kante links noch grün oder blau in Frage (Abb. 2).

Abb. 2: Die beiden Möglichkeiten beim Start

Wegen der Bedingung, dass in jedem Dreieck die drei verschiedenen Farben erscheinen müssen, sind die Farben für die weiteren Kanten eindeutig festgelegt (Abb. 3). Es gibt also nur zwei Möglichkeiten; diese sind spiegelbildlich zueinander.

Abb. 3: Die beiden spiegelbildlichen Möglichkeiten

Beide Lösungen haben eine zyklische Symmetrie rot → grün → blau.

2.2 Im Quader

Wir bauen einen Quader, dessen Kantenlänge 2•p, 2•q, 2•r folgenden Bedingungen genügen:

q² + r² = ¼ a²

r² + p² = ¼ b²

p² + q² = ¼ c²

Die Faktoren 2 und ¼ erlauben eine symmetrische Zeichnung, ausgehend vom Koordinatenursprung.
Für a = 4, b = 5, c = 6 erhalten wir die positiven Lösungen:

p ≈ 2.372, q ≈ 1.837, r ≈ 0.791

Die Seitenflächendiagonalen dieses Quaders haben die Längen a, b, c.

Wenn wir nun in diesem Quader jede zweite Ecke verbinden, ergibt sich ein Tetraeder mit den gesuchten kongruenten Seitendreiecken (Abb. 4). Gegenüberliegende Kanten sind gleich lang. Die vier Seitendreiecke sind, von außen gesehen, alle gleich orientiert.

Abb. 4a: Tetraeder im Quader

Abb. 4b: Isoedrischer Tetraeder

Verbinden der anderen Quader-Ecken liefert die spiegelbildliche Lösung.

2.3 Symmetrien

Das isoedrische Tetraeder hat drei paarweise orthogonale Symmetrieachsen, welche durch die Kantenmitten gegenüberliegender Kanten verlaufen (Abb. 5 und Abb. 6). Die Darstellung in Abb. 5 ist etwas ungeschickt positioniert.

Abb. 5: Symmetrieachsen

Abb. 6: Rotation um senkrechte Symmetrieachse

Die Symmetriegruppe ist die Kleinsche Vierergruppe C₂×C₂.

2.4 Kantenmodell

Die Abbildung 7 zeigt Kantenmodelle von zwei spiegelbildlichen isoedrischen Tetraedern.

Abb. 7: Isoedrische Tetraeder

2.5 Transformation

Die Abbildung 8 zeigt eine Transformation, ausgehend vom regelmäßigen Tetraeder mit einem Zwischenhalt bei den Kantenlängen a = 4, b = 5, c = 6 bis zum Grenzfall mit vier gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecken als Seitenflächen. In diesem Grenzfall ist der Tetraeder volumenlos. Stumpfwinklige Seitenflächen sind nicht möglich.