Hans Walser, [20150809]
Isoperimetrische Vielecke mit gegebenen SeitenlŠngen
Anregung: Chr. K., B.
Unter allen n-Ecken mit gegebenen SeitenlŠngen hat dasjenige den grš§ten FlŠcheninhalt, dessen Ecken auf einem Kreis liegen (Sehnen-n-Eck).
Es sind also, im Unterschied zu den Ÿblichen isoperimetrischen Problemstellungen, nicht nur der globale Umfang, sondern auch die einzelnen SeitenlŠngen gegeben.
Der Beweis geht in zwei Schritten. ZunŠchst wird der Sachverhalt fŸr das Viereck bewiesen, und anschlie§end verallgemeinert.
Zu zeigen ist: Unter allen Vierecken mit gegebenen Seiten hat das Sehnenviereck den grš§ten FlŠcheninhalt.
FŸr den Beweis zerlegen wir das Viereck (Abb. 1) mit der Diagonalen in zwei Dreiecke und .
Abb. 1: Unterteilung
FŸr den FlŠcheninhalt A des Viereckes gilt daher:
Nach dem Kosinussatz gilt fŸr die Diagonale :
Somit haben wir die Nebenbedingung:
Wir haben die Funktion unter der Nebenbedingung zu optimieren.
Nach dem Ÿblichen Verfahren bilden wir die Hilfsfunktion
und setzen deren Gradienten null:
Die ersten beiden Gleichungen lauten vereinfacht:
Aus folgt . Wir haben ein Sehnenviereck.
FŸr den allgemeinen Fall setzen wir die Existenz einer Lšsung voraus. Jakob Steiner hat das auch so gemacht.
Nun zeigen wir, dass der FlŠcheninhalt eines nicht-Sehnen-n-Ecks vergrš§ert werden kann.
Dazu zeichnen wir zunŠchst den Kreis durch die drei Punkte (Abb. 2). Da das n-Eck kein Sehnen-n-Eck ist, gibt es mindestens einen Punkt , der nicht auf diesem Kreis liegt.
Abb. 2: Beweisfigur
Wir unterteilen nun das n-Eck in das Viereck (orange) und die beiden Vielecke und (grŸn). Die beiden grŸnen Vielecke kšnnen in SonderfŠllen Strecken sein.
Nun denken wir uns die beiden grŸnen Vielecke starr, aber im Punkt gelenkig verbunden. Das orange Viereck denken wir uns als Gelenkfigur. Da es kein Sehnenviereck ist, vergrš§ert sich sein FlŠcheninhalt, wenn wir es unter Beibehaltung der SeitenlŠngen in ein Sehnenviereck bewegen.
Da die grŸnen Vielecke starr sind, hat sich deren FlŠcheninhalt nicht verŠndert. Wegen der Vergrš§erung des orangen Vierecks ist der gesamte FlŠcheninhalt des n-Ecks grš§er geworden.
Somit gilt allgemein, dass der FlŠcheninhalt genau fŸr ein Sehnen-n-Eck maximal ist.
Zu gegebenen vier Seiten ist ein Viereck bei Kenntnis eines Winkels bestimmt.
Wenn wir nun in die Nebenbedingung einsetzen, erhalten wir:
Die Abbildung 3 zeigt das zu den SeitenlŠngen des Viereckes der Abbildung 1 gehšrende Sehnenviereck.
Abb. 3: Sehnenviereck
FŸr
weitere Berechnungen im Sehnenviereck siehe [Weblink
1].
FŸr mich
offene Frage: Gibt es eine direkte einfache Konstruktion?
Die
Bestimmung des Sehnen-n-Ecks aus den n SeitenlŠngen ist fŸr mich eine offene
Frage, ebenso die direkte Berechnung des Umkreisradius und des FlŠcheninhaltes.
Weblinks
[Weblink
1]: FlŠchenoptimierung im Viereck