Hans Walser, [20150809]

Isoperimetrische Vielecke mit gegebenen SeitenlŠngen

Anregung: Chr. K., B.

1     Worum geht es

Unter allen n-Ecken mit gegebenen SeitenlŠngen  hat dasjenige den grš§ten FlŠcheninhalt, dessen Ecken  auf einem Kreis liegen (Sehnen-n-Eck).

Es sind also, im Unterschied zu den Ÿblichen isoperimetrischen Problemstellungen, nicht nur der globale Umfang, sondern auch die einzelnen SeitenlŠngen gegeben.

Der Beweis geht in zwei Schritten. ZunŠchst wird der Sachverhalt fŸr das Viereck bewiesen, und anschlie§end verallgemeinert.

2     Viereck

Zu zeigen ist: Unter allen Vierecken mit gegebenen Seiten  hat das Sehnenviereck den grš§ten FlŠcheninhalt.

FŸr den Beweis zerlegen wir das Viereck (Abb. 1) mit der Diagonalen  in zwei Dreiecke  und .

 

Abb. 1: Unterteilung

 

FŸr den FlŠcheninhalt A des Viereckes gilt daher:

 

 

Nach dem Kosinussatz gilt fŸr die Diagonale :

 

 

Somit haben wir die Nebenbedingung:

 

 

Wir haben die Funktion  unter der Nebenbedingung  zu optimieren.

Nach dem  Ÿblichen Verfahren bilden wir die Hilfsfunktion

 

  

 

und setzen deren Gradienten null:

 

 

 

 

Die ersten beiden Gleichungen lauten vereinfacht:

 

 

 

Aus  folgt . Wir haben ein Sehnenviereck.

3     Allgemein

FŸr den allgemeinen Fall setzen wir die Existenz einer Lšsung voraus. Jakob Steiner hat das auch so gemacht.

Nun zeigen wir, dass der FlŠcheninhalt eines nicht-Sehnen-n-Ecks vergrš§ert werden kann.

Dazu zeichnen wir zunŠchst den Kreis durch die drei Punkte  (Abb. 2). Da das n-Eck kein Sehnen-n-Eck ist, gibt es mindestens einen Punkt , der nicht auf diesem Kreis liegt.

 

Abb. 2: Beweisfigur

 

Wir unterteilen nun das n-Eck in das Viereck  (orange) und die beiden Vielecke  und  (grŸn). Die beiden grŸnen Vielecke kšnnen in SonderfŠllen Strecken sein.

Nun denken wir uns die beiden grŸnen Vielecke starr, aber im Punkt  gelenkig verbunden. Das orange Viereck denken wir uns als Gelenkfigur. Da es kein Sehnenviereck ist, vergrš§ert sich sein FlŠcheninhalt, wenn wir es unter Beibehaltung der SeitenlŠngen in ein Sehnenviereck bewegen.

Da die grŸnen Vielecke starr sind, hat sich deren FlŠcheninhalt nicht verŠndert. Wegen der Vergrš§erung des orangen Vierecks ist der gesamte FlŠcheninhalt des n-Ecks grš§er geworden.

Somit gilt allgemein, dass der FlŠcheninhalt genau fŸr ein Sehnen-n-Eck maximal ist.

4     Bestimmung des optimalen Vielecks. Offene Fragen

4.1    Bestimmung des Sehnenviereckes

Zu gegebenen vier Seiten ist ein Viereck bei Kenntnis eines Winkels bestimmt.

Wenn wir nun  in die Nebenbedingung  einsetzen, erhalten wir:

 

 

Die Abbildung 3 zeigt das zu den SeitenlŠngen  des Viereckes der Abbildung 1 gehšrende Sehnenviereck.

 

Abb. 3: Sehnenviereck

 

FŸr weitere Berechnungen im Sehnenviereck siehe [Weblink 1].

FŸr mich offene Frage: Gibt es eine direkte einfache Konstruktion?

4.2    Allgemeines Sehnenvieleck

Die Bestimmung des Sehnen-n-Ecks aus den n SeitenlŠngen ist fŸr mich eine offene Frage, ebenso die direkte Berechnung des Umkreisradius und des FlŠcheninhaltes.

 

Weblinks

[Weblink 1]: FlŠchenoptimierung im Viereck