Hans Walser, [20260805]

Kanonische Kreisfigur

1 Worum es geht

Variationen um die aus sieben Kreisen bestehende Kreisfigur

Schließungsfiguren

Rhombenhexaeder im Raum

2 Die kanonische Kreisfigur

Wir tragen auf einem Basiskreis von einem beliebigen Startpunkt aus sukzessive den Kreisradius ab. Nach sechs Schritten schließt sich die Figur (Abb. 1).

Abb. 1: Kanonische Kreisfigur mit sieben Kreisen

Der Startpunkt ist beliebig. Wird er variiert, dreht die Figur (Abb. 2).

Abb. 2: Veränderung des Startpunktes

3 Sechseck und Davidstern

Wir können ein regelmäßiges Sechseck einspannen (Abb. 3).

Abb. 3: Regelmäßiges Sechseck

Wir können auch zwei gleichseitige Dreiecke einspannen, welche einen Davidstern bilden (Abb. 4).

Abb. 4: Davidstern

4 Wechselseitiges Abtragen

Wir arbeiten mit zwei gleich großen Basiskreisen, welche nicht zu weit auseinanderliegen. Von einem Startpunkt auf dem Basiskreis rechts aus tragen wir den Kreisradius auf den anderen Kreis ab. Von dort aus wieder auf den ersten Kreis. Und so weiter (Abb. 5). Nach sechs Schritten schließt sich die Figur, wir haben wiederum eine Schließungsfigur der Periodenlänge 6. Es entsteht ein Sechseck, welches nicht mehr regelmäßig ist, aber immerhin noch punktsymmetrisch, das Sechseck ist also affin regulär. Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt der beiden Kreiszentren. Die Seitenlängen des Sechseckes sind alle gleich groß, eben der Kreisradius.

Abb. 5: Wechselseitiges Abtragen

Die sechs blauen Abstands-Kreise sind ebenfalls punktsymmetrisch angeordnet (Abb. 6).

Abb. 6: Kreisfigur mit acht Kreisen

Wir können wiederum den Startpunkt verändern (Abb. 7).

Abb. 7: Variation des Startpunktes

5 Fallunterscheidungen

Wir treffen Fallunterscheidungen bezüglich des Mittelpunktabstandes der beiden Basiskreise. Es werden in der Regel jeweils nur noch das Sechseck oder die beiden Dreiecke gezeichnet.

5.1 Mittelpunktabstand kleiner als Kreisradius

Das Sechseck ist konvex, die beiden Dreiecke sind spitzwinklig (Abb. 8).

Abb. 8: Konvexes Sechseck. Spitzwinklige Dreiecke

Beim Dreieck links ist der Mittelpunkt des linken Basiskreises der Umkreismittelpunkt (der linke Basiskreis ist der Umkreis) und der Mittelpunkt des rechten Basiskreises der Höhenschnittpunkt (Abb. 9). Beim Dreieck rechts ist es entsprechend umgekehrt. Diese Eigenschaften gelten auch in den weitern Fällen unserer Fallunterscheidung.

Abb. 9: Umkreismittelpunkt und Höhenschnittpunkt

5.2 Mittelpunktabstand gleich Kreisradius

Das Sechseck wird zu einem aus zwei Rhomben zusammengesetzten Parallelogramm. Die beiden Dreiecke sind rechtwinklig.

Abb. 10: Parallelogramm. Rechtwinklige Dreiecke

Bei den Kreisfiguren fallen zwei blaue Kreise mit den beiden schwarzen Basiskreisen zusammen (Abb. 11).

Abb. 11: Kreisfigur

5.3 Mittelpunktabstand größer als Kreisradius

5.3.1 Mittelpunktabstand kleiner als Kreisdurchmesser

Der Mittelpunktabstand soll zwar größer als der Kreisradius sein, aber kleiner als der Kreisdurchmesser.

Der Startpunkt auf dem Basiskreis rechts ist fett dargestellt (Abb. 12). Wenn er zu weit vom Basiskreis links entfernt ist, gibt es keine Lösung. Bei einer Lösung ist das Sechseck tailliert, also nicht konvex. Die beiden Dreiecke sind stumpfwinklig.

Abb. 12: Nicht konvexes Sechseck. Stumpfwinklige Dreiecke

5.3.2 Mittelpunktabstand gleich Kreisdurchmesser

Die beiden Basiskreise berühren sich (Abb.13). Dass Sechseck setzt sich in Sonderfällen aus zwei gleichseitigen Dreiecken zusammen. Die beiden gelben Dreiecke haben in Sonderfällen eine Ecke gemeinsam.

Abb. 13: Berührende Basiskreise

Die Abbildung 14 zeigt die zugehörige Kreisfigur.

Abb. 14: Kreisfigur

In Sonderfällen, zum Beispiel wenn sich der Startpunkt im Berührungspunkt befindet, ergibt sich die klassische kanonische Kreisfigur, aber mit vertauschten Rollen von schwarzen Basiskreisen und blauen Abstandskreisen (Abb.15). Das Sechseck zerfällt in zwei gleichseitige Dreiecke.

Abb. 15: Klassische kanonische Kreisfigur

5.3.3 Disjunkte Basiskreise, aber Kreisabstand kleiner als Kreisradius

Wir erhalten „überschlagene“ Sechsecke, also mit Selbstdurchdringungen des Randes. Die beiden Dreiecke sind disjunkt.

Abb. 16: Disjunkte Basiskreise

5.3.4 Ultimo

Die beiden Basiskreise haben den Kreisradius als Abstand (Abb. 17). Die Mittelpunkte der beiden Basiskreise sind also drei Kreisradien voneinander entfernt. Un ange passe.

Abb. 17: Abstand der Basiskreise gleich Kreisradius. Sonderfall

6 Rhombenhexaeder

Wir schließen an die Abbildung 16 an und verbinden die Sechseckecken mit dem Mittelpunkt des jeweiligen Basiskreises (Abb. 18). Wir glauben, ein Rhombenhexaeder zu sehen.

Abb. 18: Rhombenhexaeder

Im Abschluss an die Abbildung 13 erhalten wir die Situation der Abbildung 19.

Abb. 19: Rhombenhexaeder. Sonderfall

Im Abschluss an die Abbildung 12 erhalten wir die Situation der Abbildung 20.

Abb. 20: Rhombenhexaeder

Im Abschluss an die Abbildung 10 erhalten wir die Situation der Abbildung 21. Da haben wir allerdings Mühe, die Sache räumlich zu sehen.

Abb. 21: Keine räumliche Vorstellung

Im Abschluss an die Abbildung 8 erhalten wir die Situation der Abbildung 22.

Abb. 22: Rhombenhexaeder

Aus der klassischen kanonischen Kreisfigur gewinnen wir isometrische Würfeldarstellungen (Abb. 23).

Abb. 23: Isometrische Würfeldarstellung

7 Ausblick

Wir kamen von der kanonischen Kreisfigur zur isometrischen Würfeldarstellung (Abb. 24).

Abb. 24: Kanonische Kreisfigur und Würfel

Wir können auch umgekehrt vorgehen. Im isometrischen Bild des Würfels können wir um jeden der 8 Punkte (zentraler Punkt zählt doppelt) einen Kreis mit der Kantenlänge als Radius zeichnen. Dieser verläuft durch drei benachbarte Punkte (der zentrale Kreis zählt doppelt und verläuft daher ebenfalls durch je drei benachbarte Punkte). So ergibt sich die Kreisfigur.

Die Abbildung 25 zeigt die Situation für die Dimension 4.

Abb. 25: Vom 4d-Hyperwürfel zur entsprechenden Kreisfigur

Die Abbildung 26 zeigt die Kreisfiguren für die Dimensionen 3 bis 7.

Abb. 26: Kreisfiguren