Hans Walser, [20200714]

Kantenmittenspirale

Anregung: M. E., B.

1    Worum es geht

Spiralen im Kontext von regelmŠ§igen Kantenmittenfiguren

Bilder

2    RegelmŠ§ige Kantenmittenfiguren

Das Kantenmitten-n-Eck eines regelmŠ§igen n-Ecks ist ebenfalls regelmŠ§ig, aber verkleinert um den LŠngenfaktor . Iteration des Prozesses liefert eine Folge von regelmŠ§igen n-Ecken. Die Abbildung 1 zeigt das Beispiel fźr n = 6.

Abb. 1: Kantenmittenfigur

3    Kantenmittenspirale

Die Abbildung 2 zeigt eine Kantenmittenspirale in der Kantenmittenfigur der Abbildung 1. Die Spirale beginnt bei einer Ecke des Šu§ersten n-Ecks und lŠuft bis zur anschlie§enden Kantenmitten. Dort geht sie źber auf das anschlie§ende n-Eck.

Abb. 2: Kantenmittenspirale

Die Teilstrecken der Kantenmittenspirale bilden eine geometrische Folge mit dem Quotienten . Bezogen auf die SeitenlŠnge 1 des Šu§ersten n-Ecks hat die Spirale daher die LŠnge sn:

 

                                                                                                             (1)

 

Im Beispiel der Abbildung 2 ist:

 

                                                         (2)

 

Es gibt insgesamt 2n Kantenmittenspiralen (Abb. 3), die durch Drehen und Spiegeln auseinander hervorgehen.

Die Spiralen sind eckige logarithmische Spiralen.

Abb. 3: Kantenmittenspiralen

4    Beispiele

Die SpiralenlŠnge ist jeweils auf die SeitenlŠnge 1 des Šu§ersten n-Ecks bezogen.

4.3             Dreieck

Abb. 4.03: Dreieck

SpiralenlŠnge = 1

4.4             Quadrat

Abb. 4.04

SpiralenlŠnge =

4.5             Fźnfeck

Abb. 4.05

SpiralenlŠnge =

Dabei bedeutet  den Goldenen Schnitt (Walser 2013)

4.6             Sechseck

Abb. 4.06

SpiralenlŠnge =

4.7             Siebeneck

Abb. 4.07

SpiralenlŠnge etwa 3.732050814

4.8             Achteck

Abb. 4.08

SpiralenlŠnge =  

Zur wurzelmŠ§igen Berechnung der SpiralenlŠnge siehe [1].

4.9             Neuneck

Abb. 4.09

SpiralenlŠnge etwa 8.290859360

4.10         Zehneck

Abb. 4.10

SpiralenlŠnge =

Zur wurzelmŠ§igen Berechnung der SpiralenlŠnge siehe [1].

4.11         Elfeck

Abb. 4.11

SpiralenlŠnge etwa 12.34353760

4.12         Zwšlfeck

Abb. 4.12

SpiralenlŠnge =

Zur wurzelmŠ§igen Berechnung der SpiralenlŠnge siehe [1].

4.13         18-Eck

Abb. 4.18

SpiralenlŠnge etwa 32.91152454

Bemerkung: Zur Technik der Farbgebung im rgb-System siehe [2].

 

Websites

[1] Hans Walser: Kettenwurzeln

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kettenwurzeln/Kettenwurzeln.htm

[2] Hans Walser: Farbkreis

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Farbkreis/Farbkreis.htm

 

Literatur

Walser, H. (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing źber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.