Hans Walser, [20090730a]
Kaprekar dreistellig
1 Der Kaprekar-Algorithmus
Die Ziffern einer n-stelligen Dezimalzahl (allenfalls mit fźhrenden
Nullen) werden zum einen so geordnet, dass die grš§tmšgliche Zahl entsteht und
zum anderen so, dass die kleinstmšgliche Zahl entsteht. Dann wird die Differenz
gebildet und damit entsprechend weiter gearbeitet.
2
Beispiele mit dreistelliger Startzahl
2.1
Startzahl 253
532 – 235 = 297
972 – 279 = 693
963 – 369 = 594
954 – 459 = 495
954 – 459 = 495
Ab hier wiederholt sich die Rechnung. Zusammengefasst:
253 -> 297 -> 693 -> 594
-> 495; 4 Schritte
2.2
Startzahl 242
242 -> 198 -> 792 -> 693
-> 594 -> 495; 5 Schritte
Bei einer Startzahl mit
nicht lauter gleichen Ziffern gelangen wir nach spŠtestens 6 Schritten zur
dreistelligen Kaprekar-Konstanten 495.
2.3
Startzahl 222
222 -> 0; 1 Schritt
Bei lauter gleichen
Ziffern der Startzahl gelangen wir sofort zur Null.
3
Visualisierung
Im folgenden 3d-Raster
sind in der x-Richtung (nach links
vorne) die Hunderter, in der y-Richtung
(nach rechts vorne) die Zehner und in der z-Richtung (nach oben) die Einer der jeweiligen Startzahl verortet.
Die Farbe der Punkte
richtet sich nach der Anzahl der Schritte bis zum Erreichen der
Kaprekar-Konstanten 495:
|
Schritte |
Farbe |
RGB |
|
1 |
Schwarz |
[0, 0, 0] |
|
2 |
Rot |
[1, 0, 0] |
|
3 |
Gelb |
[1, 1, 0] |
|
4 |
Grźn |
[0, 1, 0] |
|
5 |
Hellblau |
[0, 1, 1] |
|
6 |
Blau |
[0, 0, 1] |
Bei einer Startzahl mit
lauter gleichen Ziffern ist ebenfalls Schwarz gewŠhlt. Das sind die Punkte in
der Kšrperdiagonalen von 
nach 
.
Tausend Punkte
4
Blick źber Eck
Die Sache wird sofort
klar, wenn wir ăźber EckŇ gucken, lŠngs der Kšrperdiagonalen von 
nach 
.
Blick źber Eck
Die Punkte gleicher
Farbe liegen auf Sechskant-Prismen mit der Kšrperdiagonalen als Mittelachse.
Bei etwas desaxierter
Sicht wird das noch deutlicher.
Leicht desaxierte Sicht
5
ErbsenzŠhlen
Wir kšnnen jetzt auch
die Punkte abzŠhlen. Von innen nach au§en erhalten wir :
|
Farbe |
|
Anzahl |
|
Schwarz |
10 |
10 |
|
Blau |
6
* 9 |
54 |
|
Hellblau |
12
* 8 |
96 |
|
Grźn |
18
* 7 |
126 |
|
Gelb |
24
* 6 |
144 |
|
Schwarz |
30
* 5 |
150 |
|
Rot |
36
* 4 |
144 |
|
Gelb |
42
* 3 |
126 |
|
Grźn |
48
* 2 |
96 |
|
Hellblau |
54
* 1 |
54 |
|
Total |
|
1000 |