Hans Walser, [20090713a], [20131225]
Kaprekar zweistellig
1 Der Kaprekar-Algorithmus
Die Ziffern einer n-stelligen Dezimalzahl (allenfalls mit fźhrenden Nullen) werden zum einen so geordnet, dass die grš§tmšgliche Zahl entsteht und zum anderen so, dass die kleinstmšgliche Zahl entsteht. Dann wird die Differenz gebildet und damit entsprechend weiter gearbeitet.
1.1 Beispiele mit dreistelliger Startzahl
1.1.1 Startzahl 253
532 – 235 = 297
972 – 279 = 693
963 – 369 = 594
954 – 459 = 495
954 – 459 = 495 Ab hier wiederholt sich die Rechnung. Zusammengefasst:
253 -> 297 -> 693 -> 594 -> 495; 4 Schritte
1.1.2 Startzahl 242
242 -> 198 -> 792 -> 693 -> 594 -> 495; 5 Schritte
Bei einer Startzahl mit nicht lauter gleichen Ziffern gelangen wir nach spŠtestens 6 Schritten zur dreistelligen Kaprekar-Konstanten 495.
1.1.3 Startzahl 222
222 -> 0; 1 Schritt
Bei lauter gleichen Ziffern der Startzahl gelangen wir sofort zur Null.
1.2 Beispiele mit vierstelliger Startzahl
1111 -> 0; 1 Schritt
1112 -> 999 -> 8991 -> 8082 ->
8532 -> 6174; 5 Schritte
1113 ->
1998 -> 8082 -> 8532 -> 6174; 4 Schritte
Bei nicht gleichen Ziffern der Startzahl gelangen wir nach spŠtestens 7 Schritten zur vierstelligen Kaprekar-Konstanten 6174. Dies wurde 1949 von D. R. Kaprekar gezeigt.
Dattaraya Ramchandra Kaprekar (1905-1986)
2 Zweistellige Startzahlen
Bei zweistelligen Startzahlen gibt es keine Kaprekar-Konstante. Bei Startzahlen mit nicht lauter gleichen Ziffern gelangen wir nach spŠtestens zwei Schritten zu einer Zahl des Kaprekar-Zyklus 09 –> 81 –> 63 –> 27 –> 45 –> 09.
2.1 Liste
Die Liste ist vollstŠndig, da Startzahlen mit vertauschten Ziffern das gleiche Kaprekar-Verhalten haben. Nach einem oder zwei Schritten gelangen wir zu einer Zahl des Kaprekar-Zyklus oder zur Null.
00 -> 00;
01 -> 09;
02 -> 18 -> 63;
03 -> 27;
04 -> 36 -> 27;
05 -> 45;
06 -> 54 -> 09;
07 -> 63;
08 -> 72 -> 45;
09 -> 81;
11 -> 00;
12 -> 09;
13 -> 18 -> 63;
14 -> 27;
15 -> 36 -> 27;
16 -> 45;
17 -> 54 -> 09;
18 -> 63;
19 -> 72 -> 45;
22 -> 00;
23 -> 09;
24 -> 18 -> 63;
25 -> 27;
26 -> 36 -> 27;
27 -> 45;
28 -> 54 -> 09;
29 -> 63;
33 -> 00;
34 -> 09;
35 -> 18 -> 63;
36 -> 27;
37 -> 36 -> 27;
38 -> 45;
39 -> 54 -> 09;
44 -> 00;
45 -> 09;
46 -> 18 -> 63;
47 -> 27;
48 -> 36 -> 27;
49 -> 45;
55 -> 00;
56 -> 09;
57 -> 18 -> 63;
58 -> 27;
59 -> 36 -> 27;
66 -> 00;
67 -> 09;
68 -> 18 -> 63;
69 -> 27;
77 -> 00;
78 -> 09;
79 -> 18 -> 63;
88 -> 00;
89 -> 09;
99 -> 00;
2.2 Visualisierung
Im folgenden Raster sind waagerecht die Zehner, senkrecht die Einer der Startzahl dargestellt. Die Farben der auf der Spitze stehenden Quadrate gibt an, ob wir nach einem (wei§) oder nach zwei (schwarz) Schritten zum Kaprekar-Zyklus gelangen. Die Farbe der Grundquadrate richtet sich nach der Zykluszahl, die wir als erste erreichen: 09 (rot), 81 (gelb), 63 (grźn), 27 ( hellblau) und 45 (blau); bei Erreichen der Zahl 0 wird schwarze Farbe verwendet.
Kaprekar zweistellig