Hans Walser, [20210101]
Kardioide
Kardioide im Umfeld von rechtwinkligen Dreiecken, Thaleskreis und logarithmischen Spiralen.
Zu einem rechtwinkligen Dreieck zeichnen wir den Thaleskreis (Abb. 1).
Abb. 1: Rechtwinkliges Dreieck und Thaleskreis
Wir kšnnen mit dem Eckpunkt beim rechten Winkel auf dem Thaleskreis spazieren gehen (Abb. 2).
Abb. 2: Bewegung im Thaleskreis
Wir setzen der einen Kathete des Dreiecks ein dazu Šhnliches Dreieck an (Abb. 3). Die Hypotenuse des blauen Dreiecks ist gleich der Ansetzkathete des roten.
Abb. 3: Ansetzen eines Šhnlichen Dreiecks
Wir bewegen nun beim roten Dreieck den Eckpunkt mit dem rechten Winkel auf dem Thaleskreis gemŠ§ Abbildungen 1 und 2. Welche Kurve beschreibt dabei der Eckpunkt mit dem rechten Winkel des blauen Dreiecks (Abb. 4)?
Abb. 4: Bahnkurven
Die Bahnkurve ist die gute alte Kardioide.
Die blaue Bahnkurve ist die Lotfu§punktkurve (Pedalkurve) des roten Thaleskreises (Abb. 5) und damit eine Kardioide. Die Lote gehen vom linken Punkt auf dem Thaleskreis aus und werden mit den Thaleskreistangenten geschnitten.
Abb. 5: Lotfu§punktkurve
Abb. 6: Im Koordinatensystem
Im
Koordinatensystem der Abbildung 6 erhalten wir fŸr die Kardioide die Parameterdarstellung:
(1)
Ebenso
erhalten wir fŸr den roten Thaleskreis die
Parameterdarstellung:
(2)
FŸr n = 3 ergibt sich die Kinematik der Abbildung 7.
Abb. 7: Drei Dreiecke
Die
Šu§erste Bahnkurve hat die
Parameterdarstellung:
(3)
Sie ist
ebenfalls eine Lotfu§punktkurve (Abb. 8), und zwar die Lotfu§punktkurve der
Kardioide . Die Lote gehen wiederum vom linken Punkt auf dem
Thaleskreis aus, werden jetzt aber mit den Tangenten an die Kardioide
geschnitten.
Abb. 8: Lotfu§punktkurve
Wir beweisen das gleich allgemein im ŸbernŠchsten Abschnitt.
FŸr die
Kurve haben wir
die Parameterdarstellung:
(4)
Die Abbildung 9 zeigt die Kurven fŸr n = 1 bis 14.
Abb. 9: Die ersten 14 Kurven
In der Abbildungen 10 und 11 ist die zugehšrige Schnecke mit den rechtwinkligen Dreiecken eingezeichnet. Die Eckpunkte liegen auf einer logarithmischen Spirale.
Abb. 10: Schnecke
Abb. 11: Dynamische Schnecke
Die Abbildung 12 zeigt die Kurven fŸr n = 1 bis 28, der Gravitation zuliebe in einer bilateralen Symmetrie.
Der Umriss der Kurvenschar nŠhert sich einem Kreis, der doppelt so gro§ ist wie der ursprŸngliche Thaleskreis.
Abb. 12: Die ersten 28 Kurven
Es gilt: ist
Fu§punktkurve von
, also die Menge der Schnittpunkte der Tangenten an
mit den
vom Ursprung ausgehenden Loten.
Wir haben
zu zeigen: Der Tangentialvektor ist
orthogonal zu
.
Aus (4) erhalten wir:
(5)
Weiter ergibt sich aus (4):
(6)
Die beiden Vektoren (5) und (6) haben das Skalarprodukt null und sind orthogonal. Dies war zu zeigen.
Aus (5) ergibt sich zunŠchst
(7)
und
daraus fŸr die BogenlŠnge der Kurve
:
(8)
FŸr den
FlŠcheninhalt ergibt
sich aus (4) und (5) nach dem Integralsatz von Stokes mit einiger Rechnung:
(9)
Die
Tabelle 1 gibt die ersten Werte. Bei der BogenlŠnge kommt alternierend die Kreiszahl
vor.
n |
BogenlŠnge |
numerisch |
FlŠcheninhalt |
numerisch |
1 |
Pi |
3.141592654 |
1/4*Pi |
0.7853981635 |
2 |
4 |
4 |
3/8*Pi |
1.178097245 |
3 |
3/2*Pi |
4.712388981 |
15/32*Pi |
1.472621557 |
4 |
16/3 |
5.333333333 |
35/64*Pi |
1.718058483 |
5 |
15/8*Pi |
5.890486226 |
315/512*Pi |
1.932815793 |
6 |
32/5 |
6.4 |
693/1024*Pi |
2.126097372 |
7 |
35/16*Pi |
6.872233931 |
3003/4096*Pi |
2.303272153 |
8 |
256/35 |
7.314285714 |
6435/8192*Pi |
2.467791593 |
9 |
315/128*Pi |
7.731263172 |
109395/131072*Pi |
2.622028567 |
10 |
512/63 |
8.126984127 |
230945/262144*Pi |
2.767696821 |
Tab. 1: BogenlŠngen und FlŠcheninhalt
Websites
Hans
Walser: Al-Sijizi
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Al-Sijzi/index.html
Hans
Walser: Die Herzkurve und die Mšndchen des Hippokrates
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve_u_Hippokrates/Herzkurve_u_Hippokrates.htm
Hans
Walser: Herzkurve als Enveloppe
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve3/Herzkurve3.htm
Hans
Walser: Kardioide als Enveloppe
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide4/Kardioide4.htm
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Walser: Kardioide als Spiegelbild der Parabel bei Kreisspiegelung
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide2/Kardioide2.htm
Hans
Walser: Kardioide und Goldener Schnitt
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide/Kardioide.htm
Hans
Walser: Kardioide und regelmŠ§ige Vielecke
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide3/Kardioide3.htm
Hans Walser:
Krumme Wellenlinie
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Krumme_Wellenlinie/Krumme_Wellenlinie.htm
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Walser: Umkreis bei regelmŠ§igen Vielecken
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