1 Worum es geht

Mir bislang unbekannte Eigenschaften der Kiepert-Hyperbel

2 Die Kiepert-Hyperbel

Die Kiepert-Hyperbel ist der Kegelschnitt durch die drei Eckpunkte, den Höhenschnittpunkt und den Eckenschwerpunkt eines allgemeinen Dreiecks (Abb. 1).

Abb. 1: Kiepert-Hyperbel

Die Kiepert-Hyperbel ist gleichseitig. Sie hat die Dreieckseite mittlerer Länge als Sehne in einem Hypperbelast.

Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt liegen nicht auf der Kiepert-Hyperbel.

3 Kantenschwerpunkt

Hingegen liegt der Kantenschwerpunkt des Dreiecks auf der Kiepert-Hyperbel. Der Kantenschwerpunkt ist auch der Inkreismittelpunkt des Kantenmittendreiecks (Abb. 2). Numerisch verifiziert.

Abb. 2: Kantenschwerpunkt

Dies ist erstaunlich, zumal der Inkreismittelpunkt des Startdreiecks nicht auf der Kiepert-Hyperbel liegt.

4 Tangenten

Wir zeichnen nun die Tangenten an die Kiepert-Hyperbel in den Eckpunkten (Abb. 3).

Abb. 3: Tangenten

Zwei der drei Tangenten schneiden sich auf einer Mittellinie des Dreiecks. Das gilt auch für die dritte Tangente (Abb. 4).

Abb. 4: Schnittpunkte mit den Mittellinien

5 Die große Kiepert-Hyperbel

Wir strecken die Kiepert-Hyperbel zentrisch vom Schwerpunkt aus mit dem Faktor –2 (lila in Abb. 5). Der Inkreismittelpunkt liegt auf dieser großen Hyperbel.

Abb. 5: Große Kiepert-Hyperbel

6 Die kleine Kiepert-Hyperbel

Wir strecken die Kiepert-Hyperbel zentrisch vom Schwerpunkt aus mit dem Faktor –½ (magenta in Abb. 6). Der Umkreismittelpunkt liegt auf dieser kleinen Hyperbel. Die kleine Hyperbel verläuft auch durch die Kantenmittelpunkte des Dreiecks. Sie ist die Kiepert-Hyperbel für das Kantenmittendreieck.

Abb. 6: Kleine Kiepert-Hyperbel

Weblinks

Hans Walser: Kiepert-Gerade

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kiepert-Gerade/Kiepert-Gerade.html

Hans Walser: Kiepert-Hyperbel

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kiepert/Kiepert.htm

Hans Walser: Kiepert-Hyperbel

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kiepert2/Kiepert2.htm

Hans Walser: Kiepert-Kegelschnitte

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kiepert3/Kiepert3.html