Hans Walser, [20200813]
Klammern
Anregungen:
S. M., Z.
Giuseppe Peano, Torino
1 Worum geht es?
Spiel mit Mengen und Klammern. Anzahlen
2 Problem
Wie viele Elemente hat die Menge:
{{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}}}
3 Bearbeitung
{ }
Am Anfang war das Nichts (leere Menge).
{{ }}
Die Menge mit dem Nichts hat ein Element. ãDas Nichts nichtet eben nichtÒ (nicht Heidegger, sondern Specker).
{{ }, {{ }}}
Nun haben wir zwei Elemente, nŠmlich die leere Menge und die Menge mit der leeren Menge als Element.
{{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}
Nun haben wir drei Elemente, nŠmlich die leere Menge und die Menge mit der leeren Menge als Element und die Menge mit der leeren Menge und der Menge mit der leeren Menge als Element.
Und so weiter.
4 Farbliche Kennzeichnung
Klammerpaare jeweils in gleicher Farbe.
5 Tabellarische Auflistung
|
n |
Menge |
Anzahl Klammerpaare |
Anzahl Komma |
|
0 |
{ } |
1 |
|
|
1 |
{{ }} |
2 |
0 |
|
2 |
{{ }, {{ }}} |
4 |
1 |
|
3 |
{{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}} |
8 |
3 |
|
4 |
{{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}} |
16 |
7 |
|
5 |
{{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}}} |
32 |
15 |
|
6 |
{{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}}}} |
64 |
31 |
|
7 |
{{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}, {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}}}}} |
128 |
63 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
2n |
2n–1 –1 |
Die Konstruktion geht so: Man nimmt die alte Menge und fŸgt in diese als weiteres Element sich selber ein. Daher nimmt die Anzahl der Elemente um 1 zu. Die Anzahl der Klammerpaare verdoppelt sich. Die Anzahl der Kommas verdoppelt sich, und es kommt ein neues Komma dazu.
6 Visualisierungen
6.1 Berge
Jede šffnende Klammer gibt eine AufwŠrts-Strich, jede schlie§ende Klammer einen AbwŠrts-Strich (Abb. 1).
Abb. 1: Wo Berge sich erheben
6.2 Stufen
Die Auf- oder AbwŠrtsstriche der Abbildung 1 sind in Stufen mit Quadraten aufgelšst (Abb. 2). Ein AufwŠrts-Strich gibt ein rotes Quadrat, ein AbwŠrts-Strich ein blaues.
Abb. 2: Stufen
Wir zŠhlen nun auf jedem Niveau je die Anzahl der roten und der blauen Quadrate (Abb. 3). Wir erkennen die Binomialkoeffizienten.
Abb. 3: Binomialkoeffizienten