Hans Walser, [20171220]

Klebelaschen

1     Worum es geht

Bei Tetraeder und Hexaeder (Wźrfel) fragen wir nach der Minimalzahl von zur Stabilisierung des Modells benštigten Klebelaschen.

Wir kommen mit einer oder zwei Klebelaschen aus.

2     Tetraeder

Beim Tetraeder gibt es nur zwei mšgliche Schnittmuster (Abwicklungen) (Abb. 1). Bei einem reicht eine Klebelasche, beim anderen braucht es zwei.

Abb. 1: Situation beim Tetraeder

In der Abbildung 5 ist das Schnittmuster der Abbildung 1a vergrš§ert wiedergegeben. Die Klebelasche ist als vollstŠndige SeitenflŠche angehŠngt. Statt mit Leim kann auch mit einer Bźroklammer fixiert werden.

Die Abbildung 2 zeigt ein nach diesem Schnittmuster gebautes Tetraeder.

Abb. 2: Tetraedermodell

Da beide Tetraeder-Schnittmuster sechs offene Kanten aufweisen, sin fźr eine vollstŠndige Verklebung drei Klebelaschen erforderlich.

3     Hexaeder

Beim Hexaeder gibt es 20 Schnittmuster (Abb. 3).

Abb. 3: Hexaeder

Von diesen 20 Schnittmustern benštigen 14 zwei Klebelaschen. Sechs kommen mit einer Klebelasche aus. In der Abbildung 5 ist das zweitletzte Schnittmuster vergrš§ert wiedergegeben.

Die Abbildung 4 zeigt das zugehšrige Modell.

Abb. 4: Hexaedermodell

Die Schnittmuster fźr das Hexaeder weisen 14 offene Kanten auf. Fźr eine Vollverklebung sind daher sieben Klebelaschen erforderlich.

4     Bemerkungen

Die SeitenflŠchen klaffen als Folge der ElastizitŠt des Materials etwas auseinander, grundsŠtzlich sind die Modelle aber stabil. Im Idealfall mźsste mit starren SeitenflŠchen zum Beispiel aus dźnnem Sperrholz mit mechanischen Scharnieren an den Kanten gearbeitet werden. Ich habe mit starkem Papier (dźnnem Halbkarton) gearbeitet und die Kanten gefaltet.

Es geht hier nicht darum, schšne Modelle fźr die Vitrine zu bauen, sondern die StabilitŠt unter minimalen Bedingungen auszuloten.

5     Maximale Anzahl der Klebelaschen

Ein abwickelbares Polyeder habe e Ecken, k Kanten und f SeitenflŠchen. Es gilt die Eulersche Polyederformel:

 

                                                                                                                     (1)

 

 

Die Abwicklung enthŠlt  Binnenkanten (Zaunpfahlproblem). Die Anzahl a der Au§enkanten der Abwicklung ist somit:

 

                                                                                      (2)

 

 

Wegen (1) ist:

 

                                                                                                                (3)

 

 

Es ist also:

 

                                                                                                                     (4)

 

 

Die fźr die Vollverklebung benštigte Anzahl der Klebelaschen ist die HŠlfte von a. Wir benštigen daher  Klebelaschen fźr die Vollverklebung.

6     Schnittmuster

Abb. 5: Schnittmuster