Hans Walser, [20080327a], [20131224]
Kolbenkopf
Frage: Wo bewegt sich der Kolbenkopf eines Kolbenmotors (Abb. 1) am schnellsten beziehungsweise am langsamsten wenn das Schwungrad sich gleichmŠ§ig dreht? (vgl. [Roth 2008]).
Abb. 1 Kolbenmotor
Eine naheliegende Antwort kann etwa so lauten: Bei der Auf- und AbwŠrtsbewegung (also fŸr ) ist die Bewegung am schnellsten, um die hšchste und tiefste Lage herum am langsamsten.
Der erste Teil der Antwort ist wegen der unterschiedlichen SchrŠgstellung der Pleuelstange offensichtlich falsch. Der zweite Teil ist klar (ãtote PunkteÒ).
Wenn wir die Sache so normieren, dass sich der Punkt A auf dem Einheitskreis bewegt, bleibt noch die LŠnge p der Pleuelstange als Parameter.
Die geneigte Leserin ist eingeladen, vor dem Weiterlesen sich die Dynamik fŸr verschiedene LŠngen p der Pleuelstange vorzustellen (bewegliches Denken). Besonders interessant sind wie immer die GrenzfŠlle und ihre Umgebung.
FŸr die in der Abbildung 1 eingezeichnete Hšhe finden wir:
Der Wurzelausdruck ist der Stšrefried. Gesucht sind die Extremstellen von , also die Nullstellen von .
In den folgenden Diagrammen sind fŸr verschiedene Werte von p jeweils die Grafen von rot, von blau und von grŸn eingezeichnet.
FŸr erhalten wir die Diagramme:
Abb. 2
Die rote Kurve sieht zwar fast wie eine Kosinuskurve aus — der gute Lehrer LŠmpel hŠtte allerdings warnend seinen Zeigefinger erhoben. Schon bei der blauen Kurve wird der Irrtum offensichtlich.
Am schnellsten ist die Bewegung bei
und ,
also auf dem ãoberenÒ Teil der Kreisbewegung von A.
Dies ist nahe beim Grenzfall . Unten durch lŠuft fast gar nichts.
Abb. 3 Fast toter unterer Halbkreis
Nach diesen Vorbereitungen kšnnen wir uns nun auch den Grenzfall mit dem toten unteren Halbkreis zu GemŸte fŸhren. Die geneigte Leserin ist eingeladen, sich zu Ÿberlegen, ob das sinnvoll ist (bewegliches Denken). Was geschieht, wenn die TrŠgheit den Kolben durchschie§en lŠsst? Was geschieht bei ? Wie mŸssen Kurbelwelle und Pleuelstange modifiziert werden? Wie gro§ ist in diesem Fall der Kolbenhub?
Abb. 4 Toter unterer Halbkreis
FŸr tendiert die Geschwindigkeitsfunktion gegen und fŸr die Punkte mit schnellster Bewegung gilt und . Das UnzulŠngliche, hier wirdÕs Ereignis.
Wie kam es zur falschen ãLšsungÒ. Im Folgenden Mutma§ungen.
Es wurde die ãSchrŠgheitÒ der Pleuelstange vernachlŠssigt. Geometrisch: Verwechslung der HypotenusenlŠnge mit einer KathetenlŠnge. Der Satz des Pythagoras ist bekannt, aber sein Bildungsgehalt ist noch nicht angekommen.
Pythagoras war ein schrŠger Vogel. Die deutsche Seele ist senkrecht.
FŸr sieht die Bewegungskurve, etwa generiert mit dynamischer Geometrie-Software, auf den allerersten Blick wie eine Kosinuskurve aus.
Diese Ungenauigkeit der Kurvenanalyse hat Tradition: Die Planetenbahnen wurden lange Zeit kreisfšrmig gesehen, ebenso die Wurfparabel. Man sieht offenbar nur, was man schon kennt. Entdeckendes Lernen ist ein hartes GeschŠft.
Wie mŸsste die Mechanik modifiziert werden, um und zu erhalten?
Gibt es einen geometrisch oder physikalisch einfachen Weg, das Problem zu lšsen?
Literatur
[Roth 2008] Roth, JŸrgen: Zur Entwicklung und Fšrderung Beweglichen Denkens im Mathematikunterricht. Eine empirische LŠngsschnittuntersuchung. JMD, Journal fŸr Mathematik-Didaktik, 29 (2008) Heft 1, S. 20-45