Hans Walser, [20080327a], [20131224]

Kolbenkopf

1        Das Beispiel

Frage: Wo bewegt sich der Kolbenkopf eines Kolbenmotors (Abb. 1) am schnellsten beziehungsweise am langsamsten wenn das Schwungrad sich gleichmŠ§ig dreht? (vgl. [Roth 2008]).

Abb. 1 Kolbenmotor

Eine naheliegende Antwort kann etwa so lauten: Bei der Auf- und AbwŠrtsbewegung (also fŸr ) ist die Bewegung am schnellsten, um die hšchste und tiefste Lage herum am langsamsten.

2        Analyse

Der erste Teil der Antwort ist wegen der unterschiedlichen SchrŠgstellung der Pleuelstange offensichtlich falsch. Der zweite Teil ist klar (ãtote PunkteÒ).

3        Wie ist es nun wirklich?

Wenn wir die Sache so normieren, dass sich der Punkt A auf dem Einheitskreis bewegt, bleibt noch die LŠnge p der Pleuelstange als Parameter.

Die geneigte Leserin ist eingeladen, vor dem Weiterlesen sich die Dynamik fŸr verschiedene LŠngen p der Pleuelstange vorzustellen (bewegliches Denken). Besonders interessant sind wie immer die GrenzfŠlle und ihre Umgebung.

4        Die Rechnung

FŸr die in der Abbildung 1 eingezeichnete Hšhe  finden wir:

 

 

Der Wurzelausdruck ist der Stšrefried. Gesucht sind die Extremstellen von , also die Nullstellen von .

5        Beispiele

In den folgenden Diagrammen sind fŸr verschiedene Werte von p jeweils die Grafen von  rot, von  blau und von  grŸn eingezeichnet.

5.1      p = 2

FŸr  erhalten wir die Diagramme:

Abb. 2

Die rote Kurve sieht zwar fast wie eine Kosinuskurve aus — der gute Lehrer LŠmpel hŠtte allerdings warnend seinen Zeigefinger erhoben.  Schon bei der blauen Kurve wird der Irrtum offensichtlich.

Am schnellsten ist die Bewegung bei

 

 und ,

 

also auf dem ãoberenÒ Teil der Kreisbewegung von A.


5.2      p = 1.01

Dies ist nahe beim Grenzfall . Unten durch lŠuft fast gar nichts.

Abb. 3 Fast toter unterer Halbkreis

5.3      p = 1

Nach diesen Vorbereitungen kšnnen wir uns nun auch den Grenzfall  mit dem toten unteren Halbkreis zu GemŸte fŸhren. Die geneigte Leserin ist eingeladen, sich zu Ÿberlegen, ob das sinnvoll ist (bewegliches Denken).  Was geschieht, wenn die TrŠgheit den Kolben durchschie§en lŠsst? Was geschieht bei ? Wie mŸssen Kurbelwelle und Pleuelstange modifiziert werden? Wie gro§ ist in diesem Fall der Kolbenhub?

Abb. 4 Toter  unterer Halbkreis

5.4      Gro§es p

FŸr  tendiert die Geschwindigkeitsfunktion  gegen  und fŸr die Punkte mit schnellster Bewegung gilt  und . Das UnzulŠngliche, hier wirdÕs Ereignis. 

6        Fehleranalyse

Wie kam es zur falschen ãLšsungÒ. Im Folgenden Mutma§ungen.

6.1      Senkrecht statt schrŠg

Es wurde die ãSchrŠgheitÒ der Pleuelstange vernachlŠssigt. Geometrisch: Verwechslung der HypotenusenlŠnge mit einer KathetenlŠnge. Der Satz des Pythagoras ist bekannt, aber sein Bildungsgehalt ist noch nicht angekommen.

Pythagoras war ein schrŠger Vogel. Die deutsche Seele ist senkrecht.

6.2      BlauŠugigkeit: Fehler in der Mustererkennung

FŸr  sieht die Bewegungskurve, etwa generiert mit dynamischer Geometrie-Software, auf den allerersten Blick wie eine Kosinuskurve aus.

Diese Ungenauigkeit der Kurvenanalyse hat Tradition: Die Planetenbahnen wurden lange Zeit kreisfšrmig gesehen, ebenso die Wurfparabel. Man sieht offenbar nur, was man schon kennt. Entdeckendes Lernen ist ein hartes GeschŠft.

7        Ausblicke

Wie mŸsste die Mechanik modifiziert werden, um  und  zu erhalten?

Gibt es einen geometrisch oder physikalisch einfachen Weg, das Problem zu lšsen?

 

Literatur

[Roth 2008]                Roth, JŸrgen: Zur Entwicklung und Fšrderung Beweglichen Denkens im Mathematikunterricht. Eine empirische LŠngsschnittuntersuchung. JMD, Journal fŸr Mathematik-Didaktik, 29 (2008) Heft 1, S. 20-45