Hans Walser, [20201109]

Kollineare Punkte

1   Kreisringbšgen

Wir beginnen mit drei konzentrischen Kreisringbšgen (Abb. 1).

Abb. 1.1: Kreisringbšgen

Die drei Kreisringbšgen haben dasselbe Zentrum, denselben …ffnungswinkel und die gleiche Dicke. Die drei Innenradien sind beliebig.

Nun zeichnen wir die ăDiagonalenŇ von links unten nach rechts oben in die Bšgen (Abb. 1.2). Ebenso zeichnen wir die Mittelpunkte dieser Diagonalen.

Abb. 1.2: Diagonalen mit Mittelpunkten

Diese Mittelpunkte liegen auf einer Geraden. Sie sind kollinear (Abb. 1.3). Die Gerade geht allerdings nicht durch das gemeinsame Zentrum der Kreisringbšgen.

Abb. 1.3: Kollineare Punkte

Wenn wir die Diagonalen in einem anderen TeilverhŠltnis unterteilen, zum Beispiel im VerhŠltnis 2:1, ergeben sich ebenfalls kollineare Punkte (Abb. 1.4).

Abb. 1.4: Kollineare Drittelpunkte

2   Beweis

Der Beweis verlŠuft rechnerisch.

Wir betten die Figur in die Ebene der komplexen Zahlen ein, so dass das Zentrum der Kreisringbšgen in den Nullpunkt zu liegen kommt und die untere Sektorgrenze auf die reelle Achse (Abb. 2).

Abb.2: Beweisfigur

Die reellen Zahlen a1, a2 und a3 sind einerseits die Innenradien der Kreisringbšgen, andererseits aber auch die Ecken unten links. Die Ringbreite ist d.

Es ist dann:

 

                                                                                   (1)

 

 

 

Weiter ist bei einer Unterteilung im VerhŠltnis :

 

                                                                                                   (2)

 

 

 

Einsetzen von (1) in (2) ergibt einen Term von der Form:

 

                                                                                          (3)

 

 

 

Um die KollinearitŠt von c1, c2 und c3 zu zeigen, muss gelten:

 

                                                                                                                     (4)

 

 

 

 

Einsetzen von (3) in (4) ergibt:

 

                                                                           (5)

 

 

 

 

Die rechte Seite von (5) ist aber reell. Damit ist die KollinearitŠt bewiesen.

3   Archimedische Spiralen

Die Abbildung 3 zeigt zwei Beispiele mit archimedischen Spiralen. Wo sind die Kreisringbšgen?

Abb. 3: Archimedische Spiralen

Websites

Hans Walser: Kollineare Punkte

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kollineare_Punkte3/Kollineare_Punkte3.htm

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Hans Walser: Kollineare und kozyklische Punkte

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Hans Walser: Schlussstriche

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