Hans Walser, [20210717]
Kollineare Punkte
Aufbauend auf einer Fadengrafik finden wir kollineare Punkte.
In der Ebene der komplexen Zahlen beginnen wir mit zwei arithmetischen Folgen. Geometrisch sind dies gleichmäßig auf einer Strecke verteilte Punkte (Abb. 1.1).
Abb. 1.1: Arithmetische Folgen
Nun verbinden wir entsprechende Punkte und erhalten eine sogenannte Fadengrafik (Abb. 1.2).
Abb. 1.2: Fadengrafik
Die Enveloppe ist eine Bézier-Kurve zweiten Grades, also eine Parabel.
Wir setzen auf die Fäden gleichseitige Dreiecke (Abb. 2.1).
Abb. 2.1: Dreiecke aufsetzen
Wir stellen fest, dass die Spitzen auf einer Geraden liegen (Abb. 2.2).
Abb. 2.2: Kollineare Punkte
Die Sache funktioniert auch mit Quadraten (Abb. 3) oder Fünfecken (Abb. 4). Wir erhalten sogar zwei beziehungsweise drei Scharen von kollinearen Punkten.
Abb. 3: Quadrate
Abb. 4: Regelmäßige Fünfecke
Der Beweis ist das hohe Lied der Linearität. Wir wählen die komplexen Zahlen a0, p und b0, q. Dann sind
(1)
je eine arithmetische Folge. Weiter setzen wir:
(2)
Multiplikation mit f bedeutet geometrisch eine Drehung um 60°.
Die Spitze cn des Dreiecks mit den Basisecken an und bn finden wir als Linearkombination:
(3)
Einsetzen von (1) in (3) ergibt:
(4)
Wir erhalten also wieder eine arithmetische Folge. Dies war zu zeigen.
Wir können f durch eine beliebige komplexe Zahl ersetzen und erhalten so allgemeine Dreiecke. Für f = 1 + 2i ergibt sich die Situation der Abbildung 5.
Abb. 5: Allgemeine ähnliche Dreiecke
Analog verfährt man für Polygone mit mehr als drei Ecken.