Hans Walser, [20210717]

Kollineare Punkte

1     Worum geht es?

Aufbauend auf einer Fadengrafik finden wir kollineare Punkte.

2     Fadengrafik

In der Ebene der komplexen Zahlen beginnen wir mit zwei arithmetischen Folgen. Geometrisch sind dies gleichmäßig auf einer Strecke verteilte Punkte (Abb. 1.1).

Abb. 1.1: Arithmetische Folgen

Nun verbinden wir entsprechende Punkte und erhalten eine sogenannte Fadengrafik (Abb. 1.2).

Abb. 1.2: Fadengrafik

Die Enveloppe ist eine Bézier-Kurve zweiten Grades, also eine Parabel.

3     Dreiecke aufsetzen

Wir setzen auf die Fäden gleichseitige Dreiecke (Abb. 2.1).

Ein Bild, das Zubehör, Regenschirm, Visitenkarte enthält.

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Abb. 2.1: Dreiecke aufsetzen

Wir stellen fest, dass die Spitzen auf einer Geraden liegen (Abb. 2.2).

Abb. 2.2: Kollineare Punkte

4     Verallgemeinerung

Die Sache funktioniert auch mit Quadraten (Abb. 3) oder Fünfecken (Abb. 4). Wir erhalten sogar zwei beziehungsweise drei Scharen von kollinearen Punkten.

Abb. 3: Quadrate

Abb. 4: Regelmäßige Fünfecke

5     Beweis

Der Beweis ist das hohe Lied der Linearität. Wir wählen die komplexen Zahlen a0, p und b0, q. Dann sind

 

                                                                           (1)

 

je eine arithmetische Folge. Weiter setzen wir:

 

                                                                                                                       (2)

 

Multiplikation mit f bedeutet geometrisch eine Drehung um 60°.

Die Spitze cn des Dreiecks mit den Basisecken an und bn finden wir als Linearkombination:

 

                                                                                               (3)

 

Einsetzen von (1) in (3) ergibt:

 

                                                         (4)

 

Wir erhalten also wieder eine arithmetische Folge. Dies war zu zeigen.

6     Allgemeines Dreieck

Wir können f durch eine beliebige komplexe Zahl ersetzen und erhalten so allgemeine Dreiecke. Für f = 1 + 2i ergibt sich die Situation der Abbildung 5.

Ein Bild, das Zubehör, Briefpapier, Umschlag enthält.

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Abb. 5: Allgemeine ähnliche Dreiecke

Analog verfährt man für Polygone mit mehr als drei Ecken.