1 Worum es geht

In einem Dreieck sind der Inkreismittelpunkt, der Kantenschwerpunkt und der Eckenschwerpunkt kollinear.

2 Herleitung

Wir beginnen mit einem Dreieck und seinem Inkreis (Abb. 1).

Abb. 1: Dreieck mit Inkreis

Der Kantenschwerpunkt ist der Inkreismittelpunkt des Kantenmittendreiecks des ursprünglichen Dreiecks (Abb. 2). Dies ist der Witz der Sache.

Abb. 2: Kantenschwerpunkt

Ein Dreieck und sein Kantenmittendreieck sind perspektivähnlich bezüglich des Eckenschwerpunkts (Abb. 3). Das Perspektivitätsverhältnis ist –1:2.

Abb. 3: Perspektivität

Daher sind der Inkreismittelpunkt, der Kantenschwerpunkt und der Eckenschwerpunkt kollinear (Abb. 4).

Abb. 4: Kollinearität

3 Euler-Gerade

Wir ersetzen die Inkreise von Dreieck und Kantenmittendreieck durch deren Umkreise (Abb. 5). Deren Mittelpunkt sind ebenfalls mit dem Eckenschwerpunkt kollinear. Die Gerade durch die beiden Mittelpunkte ist die Eulergerade. Der Umkreis des Kantenmittendreiecks ist der Feuerbachkreis.

Abb. 5: Eulergerade

Weblinks

Hans Walser: Kantenschwerpunkt

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kantenschwerpunkt/Kantenschwerpunkt.htm

Hans Walser: Schlussstriche

https://walser-h-m.ch/hans/Schlussstriche/