Hans Walser, [20140925]
Konforme Punktgitter
Es werden Punktgitter, welche kleine ãQuadrateÒ darstellen, mit Hilfe differenzierbarer komplexer Funktionen dargestellt. Dabei wir die Software GeoGebra verwendet.
Die Eingabezeile fŸr die Beispiele ist jeweils:
Folge[Folge[f(a + i*b), a, amin, amax, astep], b, bmin, bmax, bstep]
Dabei ist:
f die verwendete Funktion
amin, amax, bmin, bmax die linke, rechte, untere, obere Begrenzung des Definitionsbereiches
astep und bstep die SchrittlŠngen (Maschenbreiten) im Definitionsbereich. FŸr ãquadratischeÒ Gitter muss astep = bstep sein. Bei periodischen Funktionen muss step ein Bruchteil der PeriodenlŠnge sein.
IdentitŠt: f(a + i*b) = a + i*b
Folge[Folge[a + i*b, a, 0, 5, 1], b, 0, 8, 1]
Abb. 1: Kartesisches Gitter
Mit dem Faktor exp(i*α) kann um den Ursprung um den Winkel α gedreht werden.
Folge[Folge[exp(i*¹/12)*(a + i*b), a, 0, 5, 1], b, 0, 8, 1]
Abb. 2: Drehung
Die Exponentialfunktion liefert das klassische Netz von konzentrischen Kreisen und radialen Geraden.
Folge[Folge[exp(a + i*b), a, -5, 5, ¹/12], b, 0, 2*¹, ¹/12]
Abb. 3: Kreise und Geraden
Die Quadratfunktion liefert konfokale Parabeln.
Folge[Folge[(a + i*b)^2, a, 0, 8, 1], b, -8, 8, 1]
Abb. 4: Parabeln
Die hyperbolische Kosinusfunktion liefert konfokale Ellipsen und Hyperbeln
Folge[Folge[cosh(a + i*b), a, 0, ¹, ¹/12], b, 0, ¹, ¹/12]
Leider funktioniert das in GeoGebra nicht. Die Kreisfunktionen und die hyperbolischen Funktionen sind offenbar in GeoGebra nur reell implementiert. Wir mŸssen daher von Hand arbeiten.
Wegen cosh(z) = (exp(z) + exp(-z))/2 kommen wir mit der Exponentialfunktion durch.
Folge[Folge[(exp(a + i*b) + exp(-(a + i*b)))/2, a, 0, ¹/2, ¹/12], b, -¹, ¹, ¹/12]
Abb. 5: Ellipsen und Hyperbeln
Wir arbeiten mit der Wurzelfunktion. Mit
Folge[Folge[sqrt(a + ί b), a, -8, 8, 1], b, -8, 8, 1]
erhalten wir allerdings nur die halbe Miete.
Abb. 6a: Nur die HŠlfte
Das liegt daran, dass die Umkehrfunktion der nicht bijektiven Quadratfunktion nur auf einer HŠlfte funktioniert.
Wir mŸssen die andere HŠlfte von Hand nachfŸgen, indem wir eine zweite Folge angeben.
Folge[Folge[sqrt(a + ί b), a, -8, 8, 1], b, -8, 8, 1]
Folge[Folge[-sqrt(a + ί b), a, -8, 8, 1], b, -8, 8, 1]
Das Minuszeichen vor der Wurzel spiegelt am Ursprung.
Abb. 6b: Beide HŠlften
Werden die Hyperbeln der einen Schar als Niveaulinien interpretiert, haben wir einen Sattel- oder Passpunkt.
Eingaben:
A = 0 + 0*i
Folge[Folge[Folge[exp(i*2*k* ¹/3) (a + i*b)^(1/3), a, -8, 8, 1], b, -8, 8, 1], k, 1, 3, 1]
Abb. 7: Affensattel
Eingaben:
A = 0 + 0*i
Folge[Folge[-i*(a+i*b)^4, a, 0, 12], b, 1, 12]
Abb. 8: Flamme