1 Worum es geht

Anwendung der Spiegelungsgeometrie

2 Konstruktion

Wir beginnen mit einem Kreis aus Papier (Kreis-Origami) (Abb. 1). Wir nehmen an, der Papierkreis sei auf der Vorderseite gelb und auf der Rückseite weiß.

Abb. 1: Papierkreis

Nun falten wir ein Kreissegment hinein (Abb. 2). Es bleibt ein gelbes Möndchen übrig.

Abb. 2: Kreissegment hineinfalten

3 Konstante Breite

Das Möndchen ist überall gleich breit (Abb. 3).

Abb. 3: Konstante Breite

4 Einsicht

Der Außenkreis und der Innenkreis des Möndchens unterscheiden sich um eine Parallelverschiebung (Abb. 4). Die Verschiebungsrichtung ist rechtwinklig zur Faltlinie.

Abb. 4: Parallelverschiebung

5 Verallgemeinerung

Wir beginnen mit einer Figur mit einer Symmetrieachse (Abb. 5). Dazu falten wir das Papier einmal und schneiden das Halbprofil aus. Dann falten wir wieder auf.

Abb. 5: Symmetrische Figur

Nun falten wir ein Segment parallel zur Symmetrieachse hinein (Abb. 6).

Abb. 6: Segment hineinfalten, parallel zur Symmetrieachse

Die Restfigur ist überall gleich breit (Abb. 7). Die Breite wird rechtwinklig zur Symmetrieachse und der Faltlinie gemessen.

Abb. 7: Konstante Breite

Wir haben es wiederum mit einer Parallelverschiebung zu tun (Abb. 8).

Abb. 8: Parallelverschiebung

Die Breite ist doppelt so groß wie der Abstand zwischen der Symmetrieachse und der Faltlinie.

6 Krumme Breite

Wir kehren zurück zur Möndchenfigur (Abb. 2).

Wir wählen auf der Faltlinie einen beliebigen Punkt (Abb. 9) und zeichnen von diesem Punkt aus Kreisbögen vom inneren Möndchenkreis zum äußeren Möndchenkreis.

Abb. 9

Diese Kreisbögen sind unterschiedlich lang. Wenn wir aber ihre Endpunkte mit dem Zentrum verbinden, erhalten wir ähnliche Sektoren (Abb. 10 und Abb. 11). Die Zentriwinkel dieser Sektoren sind also konstant.

Abb. 10: Ähnliche Sektoren

Abb. 11: Ähnliche Sektoren

7 Hintergrund

Die Zusammensetzung zweier Geradenspiegelungen mit parallelen Spiegelgeraden ist eine Translation (Parallelverschiebung). Der Translationsvektor ist der doppelte Abstandsvektor von der ersten Spiegelgeraden zur zweiten Spiegelgeraden.

Die Zusammensetzung zweier Geradenspiegelungen mit sich schneidenden Spiegelgeraden ist eine Rotation (Drehung). Das Rotationszentrum ist der Schnittpunkt der beiden Spiegelgeraden. Der Rotationswinkel ist der doppelte Winkel von der ersten Spiegelgeraden zur zweiten Spiegelgeraden.

Literatur

Berendonk, Stephan und Dieser, Daniel (2026): Beweise des Höhensatzes von Euklid am allgemeinen Dreieck. In: Andreas Filler & Anselm Lambert (Hrsg.): Trigonometrie – gestern, heute und morgen. Vorträge auf der 41. Herbsttagung des Arbeitskreises Geometrie in der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik in Saarbrücken. S. 51-72. WTM Verlag für wissenschaftliche Texte und Medien, Münster. ISBN 978-3-95987-391-8.