Hans Walser, [20250726]

Konstantes Produkt

1 Worum es geht

Visualisierung der Gleichung

xyz = n, n ∈ ℕ

im Raum.

2 Die Fläche

Die Abbildungen 1 und 2 zeigen die durch die Gleichung xyz = 1 definierte Fläche.

Ein Bild, das Origami, Design enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Abb. 1: Fläche

Ein Bild, das Papierkunst, Kreative Künste, Bastelpapier, Origamipapier enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Abb. 2: Verschiedene Sichten

Die Fläche zerfällt in vier kongruente Teile, die in jedem zweiten Oktanten des Koordinatensystems spielen, nämlich in jenen Oktanten, in welche das Produkt der drei Koordinaten positiv ist. In den übrigen vier Oktanten befindet sich die Fläche mit der Gleichung xyz = –1 (blau in Abb. 3).

Ein Bild, das Würfel, Design enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Abb. 3: Ergänzung

3 Asymptoten

Die Asymptoten sind die Koordinatenebenen (Abb. 4).

Ein Bild, das Würfel, Design, Origami enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Abb. 4: Asymptoten

4 Ganzzahlige Koordinaten

Die Flächen enthalten nur abzählbar viele Punkte mit ganzzahligen Koordinaten. Die Anzahl hängt von n ab.

Wir beschränken uns im Folgenden auf den ersten Oktanten.

4.1 n = 1

Für n = 1 gibt es nur einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten, nämlich [1, 1, 1] (Abb. 5.1).
Ein Bild, das Design enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Abb. 5.1: Ein einziger Punkt

4.2 n = 2

Für n = 2 gibt es drei Punkte, nämlich [2, 1, 1], [1, 2, 1], [1, 1, 2] (Abb. 5.2).

Ein Bild, das Design enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Abb. 5.2: Drei Punkte

4.3 n = 3

Für n = 3 gibt es ebenfalls nur drei Punkte (Abb. 5.3). Das gilt für alle Primzahlen > 1.

Ein Bild, das Diagramm, Design, Kunst enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Abb. 5.3: Drei Punkte

4.4 n = 4

Für n = 4 haben wir sechs Punkte (Abb. 5.4).

Ein Bild, das Diagramm, Design enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Abb. 5.4: Sechs Punkte

In einer speziellen Sicht scheinen diese Punkte auf einem Quadratraster zu liegen (Abb. 5.5).

Ein Bild, das Screenshot, Diagramm, Reihe enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Abb. 5.5: Punkte erscheinen auf einem Quadratraster.

4.5 n = 12

Für n = 12 gibt es 18 Punkte (Abb. 5.6).

Ein Bild, das Design enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Abb. 5.6: 18 Punkte

Auch diese Punkte erscheinen in einer speziellen Sicht auf einem Quadratraster (Abb. 5.7).

Ein Bild, das Text, Screenshot, Farbigkeit enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Abb. 5.7: Quadratraster

4.6 Tabellarische Übersicht

Die Anzahl m der Punkte mit ganzzahligen Koordinaten hängt von der Struktur der Primfaktorzerlegung von n ab (Tab. 1). Soweit die Tabelle reicht, ist die Zuordnung bijektiv.

n	Primfaktorzerlegung von n	Anzahl m der Punkte mit ganzzahligen Koordinaten	Kommentar zur Primfaktorzerlegung von n
1	1	1
2	2	3	Primzahl
3	3	3	Primzahl
4	2^2	6	Quadrat einer Primzahl
5	5	3	Primzahl
6	2*3	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
7	7	3	Primzahl
8	2^3	10	Kubikzahl einer Primzahl
9	3^2	6	Quadrat einer Primzahl
10	2*5	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
11	11	3	Primzahl
12	2^2*3	18	Produkt einer Primzahl mit dem Quadrat einer anderen Primzahl
13	13	3	Primzahl
14	2*7	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
15	3*5	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
16	2^4	15	Vierte Potenz einer Primzahl
17	17	3	Primzahl
18	2*3^2	18	Produkt einer Primzahl mit dem Quadrat einer anderen Primzahl
19	19	3	Primzahl
20	2^2*5	18	Produkt einer Primzahl mit dem Quadrat einer anderen Primzahl
21	3*7	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
22	2*11	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
23	23	3	Primzahl
24	2^3*3	30	Produkt einer Primzahl mit der dritten Potenz einer anderen Primzahl
25	5^2	6	Quadrat einer Primzahl
26	2*13	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
27	3^3	10	Kubikzahl einer Primzahl
28	2^2*7	18	Produkt einer Primzahl mit dem Quadrat einer anderen Primzahl
29	29	3	Primzahl
30	235	27	Produkt von drei verschiedenen Primzahlen
31	31	3	Primzahl
32	2^5	21	Fünfte Potenz einer Primzahl
33	3*11	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
34	2*17	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
35	5*7	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
36	2^2*3^2	36	Produkt von zwei Quadraten von verschiedenen Primzahlen
37	37	3	Primzahl
38	2*19	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
39	3*13	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
40	2^3*5	30	Produkt einer Primzahl mit der dritten Potenz einer anderen Primzahl
41	41	3	Primzahl
42	237	27	Produkt von drei verschiedenen Primzahlen
43	43	3	Primzahl
44	2^2*11	18	Produkt einer Primzahl mit dem Quadrat einer anderen Primzahl
45	3^2*5	18	Produkt einer Primzahl mit dem Quadrat einer anderen Primzahl
46	2*23	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
47	47	3	Primzahl
48	2^4*3	45	Produkt der vierten Potenz einer Primzahl mit einer anderen Primzahl
49	7^2	6	Quadrat einer Primzahl
50	2*5^2	18	Produkt einer Primzahl mit dem Quadrat einer anderen Primzahl
51	3*17	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
52	2^2*13	18	Produkt einer Primzahl mit dem Quadrat einer anderen Primzahl
53	53	3	Primzahl
54	2*3^3	30	Produkt einer Primzahl mit der dritten Potenz einer anderen Primzahl
55	5*11	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
56	2^3*7	30	Produkt einer Primzahl mit der dritten Potenz einer anderen Primzahl
57	3*19	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
58	2*29	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
59	59	3	Primzahl
60	2^235	54	Produkt eines Quadrates einer Primzahl mit zwei verschiedenen anderen Primzahlen
61	61	3	Primzahl
62	2*31	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
63	3^2*7	18	Produkt einer Primzahl mit dem Quadrat einer anderen Primzahl
64	2^6	28	Sechste Potenz einer Primzahl
65	5*13	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
66	2311	27	Produkt von drei verschiedenen Primzahlen
67	67	3	Primzahl
68	2^2*17	18	Produkt einer Primzahl mit dem Quadrat einer anderen Primzahl
69	3*23	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
70	257	27	Produkt von drei verschiedenen Primzahlen
71	71	3	Primzahl
72	2^3*3^2	60	Produkt einer dritten Potenz einer Primzahl mit dem Quadrat einer anderen Primzahl
73	73	3	Primzahl
74	2*37	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
75	3*5^2	18	Produkt einer Primzahl mit dem Quadrat einer anderen Primzahl
76	2^2*19	18	Produkt einer Primzahl mit dem Quadrat einer anderen Primzahl
77	7*11	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
78	2313	27	Produkt von drei verschiedenen Primzahlen
79	79	3	Primzahl
80	2^4*5	45	Produkt der vierten Potenz einer Primzahl mit einer anderen Primzahl
81	3^4	15	Vierte Potenz einer Primzahl
82	2*41	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
83	83	3	Primzahl
84	2^237	54	Produkt eines Quadrates einer Primzahl mit zwei verschiedenen anderen Primzahlen
85	5*17	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
86	2*43	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
87	3*29	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
88	2^3*11	30	Produkt einer Primzahl mit der dritten Potenz einer anderen Primzahl
89	89	3	Primzahl
90	23^25	54	Produkt eines Quadrates einer Primzahl mit zwei verschiedenen anderen Primzahlen
91	7*13	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
92	2^2*23	18	Produkt einer Primzahl mit dem Quadrat einer anderen Primzahl
93	3*31	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
94	2*47	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
95	5*19	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
96	2^5*3	63	Produkt der fünften Potenz einer Primzahl mit einer anderen Primzahl
97	97	3	Primzahl
98	2*7^2	18	Produkt einer Primzahl mit dem Quadrat einer anderen Primzahl
99	3^2*11	18	Produkt einer Primzahl mit dem Quadrat einer anderen Primzahl
100	2^2*5^2	36	Produkt von zwei Quadraten von verschiedenen Primzahlen
101	101	3	Primzahl
102	2317	27	Produkt von drei verschiedenen Primzahlen
103	103	3	Primzahl
104	2^3*13	30	Produkt einer Primzahl mit der dritten Potenz einer anderen Primzahl
105	357	27	Produkt von drei verschiedenen Primzahlen
106	2*53	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
107	107	3	Primzahl
108	2^2*3^3	60	Produkt einer dritten Potenz einer Primzahl mit dem Quadrat einer anderen Primzahl
109	109	3	Primzahl
110	2511	27	Produkt von drei verschiedenen Primzahlen
111	3*37	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
112	2^4*7	45	Produkt der vierten Potenz einer Primzahl mit einer anderen Primzahl
113	113	3	Primzahl
114	2319	27	Produkt von drei verschiedenen Primzahlen
115	5*23	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
116	2^2*29	18	Produkt einer Primzahl mit dem Quadrat einer anderen Primzahl
117	3^2*13	18	Produkt einer Primzahl mit dem Quadrat einer anderen Primzahl
118	2*59	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
119	7*17	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
120	2^335	90	Produkt der dritten Potenz einer Primzahl mit zwei anderen Primzahlen
121	11^2	6	Quadrat einer Primzahl
122	2*61	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
123	3*41	9	Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen
124	2^2*31	18	Produkt einer Primzahl mit dem Quadrat einer anderen Primzahl
125	5^3	10	Kubikzahl einer Primzahl

Tab. 1: Struktur der Primfaktorzerlegung von n und Anzahl der Punkte mit ganzzahligen Koordinaten

4.7 Formel

Die Formel geht so: für die Zahl n mit der Primfaktorzerlegung

ist die Anzahl m der Punkte mit ganzzahligen Koordinaten:

Die Primzahlen selber sind irrelevant, lediglich ihre Anzahlen (Potenzen) sind von Bedeutung.