Hans Walser, [20250711]

Korbbögen im Dreieck

1 Worum es geht

Invarianten bei geschlossenen Korbbögen im Dreieck.

2 Konstruktion eines geschlossenen Korbbogens

Wir wählen einen beliebigen Startpunkt auf einer Dreiecksseite und verbinden ihn mit einem Bogen mit der im positiven Orientierungssinn nachfolgenden Dreiecksseite (Abb. 1). Der Bogen soll beide Dreiecksseiten tangentiell berühren. Ein solcher Bogen wird auch als Korbbogen bezeichnet.

Abb. 1: Start

Mit dem Berührungspunkt auf der zweiten Seite verfahren wir entsprechend (Abb. 2). Auch die Zusammensetzung der beiden Bögen wird als Korbbogen bezeichnet.

Abb. 2: Zweiter Bogen

Mit dem dritten Bogen kommen wir wieder auf die erste Dreiecksseite zurück, aber in einem anderen Punkt (Abb. 3).

Abb. 3: Dritter Bogen

Nun fahren wir weiter (Abb. 4 und Abb. 5).

Abb. 4: Vierter Bogen

Abb. 5: Fünfter Bogen

Mit dem sechsten Bogen schließt sich die Figur (Abb. 6). Wir haben einen geschlossenen Korbbogen.

Abb. 6: Schließungsfigur

Die Figur hängt vom Startpunkt ab (Abb. 7). Der Korbbogen durchfährt den Inkreis.

Abb. 7: Variation des Startpunktes

3 Invarianten

3.1 Bogenlängen

Die Gesamtsumme der Bogenlängen ist invariant (Abb. 8). Die Gesamtlänge ist das Doppelte des Inkreisumfanges.

Abb. 8: Invariante Gesamtlänge

Auch die Summe gegenüberliegender Bogen ist invariant. Mit „gegenüberliegend“ ist gemeint, dass sie die Nummerierungsdifferenz 3 haben. Die Abbildung 9 zeigt ein Beispiel. Die Zentren der beiden Bögen liegen auf derselben Winkelhalbierenden des Dreiecks.

Abb. 9: Bogenpaar mit invarianter Bogenlängensumme

3.2 Radien

Die Gesamtsumme der Bogenradien ist invariant (Abb. 10). Die Radiensumme ist das Sechsfache des Inkreisradius. Die Zentren der Kreisböen laufen auf den Winkelhalbierenden des Dreiecks.

Abb. 10: Invariante Radiensumme

Die Summe der Radien zweier Bögen, deren Zentren auf derselben Winkelhalbierenden liegen, ist invariant (Abb. 11). Aus der Abbildung 11 wir auch ersichtlich, warum dem so ist. Die Summe ist das Doppelte des Inkreisradius.

Abb. 11: Summe zweier Radien

4 Flächensummen

Die Summen von Sektorflächen sind nicht invariant, haben aber beim Durchlaufen des Inkreises das Minimum (Abb. 12).

Abb. 12: Summe von Sektorflächen

Weblink

Rolfdieter Frank / Hans Walser: Korbbögen – wie kriegen wir die Kurve?

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Korbboegen/Korbboegen.pdf

Hans Walser: Schließungsfiguren

https://walser-h-m.ch/hans/Schliessungsfiguren/