Hans Walser, [20240708]

Kreise beim Dreieck

1     Worum es geht

Flächenvergleich zwischen In- und Ankreisflächen und Umkreisfläche

Invariante Flächensumme beim rechtwinkligen Dreieck

2     Flächenverhältnis

In einem beliebigen Dreieck zeichnen wir den Inkreis, die drei Ankreise und den Umkreis (Abb. 1).

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Abb. 1: Kreise beim Dreieck

Wir addieren die Flächeninhalte des Inkreises und der drei Ankreise (rot in Abb. 1) und setzen die Flächensumme ins Verhältnis zum Flächeninhalt des Umkreises (grau in Abb. 1). Im gezeichnete Beispiel der Abbildung 1 ergibt sich das Flächenverhältnis 7.5209 : 1. Das Flächenverhältnis variiert bei Veränderung des Dreiecks.

3     Spezielle Dreiecke

Bei einigen speziellen Dreiecken ergibt sich ein „schönes“ Flächenverhältnis.

3.1     Gleichschenklige Dreiecke

3.1.1    Gleichseitiges Dreieck

Beim gleichseitigen Dreieck (Abb. 2) ist das Flächenverhältnis 7 : 1. Nachweis durch Rechnung.

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Abb. 2: Gleichseitiges Dreieck

3.1.2    Rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck

Beim rechtwinklig gleichschenkligen Dreieck (Abb. 3) ist das Flächenverhältnis 8 : 1. Nachweis durch Rechnung. Wir werden sehen, dass dieses Flächenverhältnis 8 : 1 für jedes rechtwinklige Dreieck gilt.

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Abb. 3: Rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck

3.1.3    Basiswinkel 30°

Beim gleichschenkligen Dreieck mit den Basiswinkeln 30° (Abb. 4) ist das Flächenverhältnis 11 : 1. Mit DGS ermittelt.

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Abb. 4: Basiswinkel 30°

3.1.4    Basiswinkel 72°

Beim gleichschenkligen Dreieck mit den Basiswinkeln 72° (Abb. 5) ist das Flächenverhältnis 7.382 : 1. Hinter diesem Verhältnis steckt der Goldene Schnitt.

Wir bezeichnen mit Φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618 den Goldenen Schnitt. Es ist 9 – Φ ≈ 7.382. Dies ist das Flächenverhältnis in unserem Beispiel.

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Abb. 5: Basiswinkel 72°

3.1.5    Basiswinkel 36°

Beim gleichschenkligen Dreieck mit den Basiswinkeln 36° (Abb. 6) ist das Flächenverhältnis 9.618 : 1. Es ist 8 + Φ ≈ 9.618.

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Abb. 6: Basiswinkel 36°

3.2     Rechtwinklige Dreiecke

Bei rechtwinkligen Dreiecken (Abb. 7) ist das Flächenverhältnis invariant 8 : 1.

Abb. 7: Rechtwinklige Dreiecke

Nachweis rechnerisch.

Rechenweg und Formeln: Geben seien die Katheten a und b. Damit berechnen wir:

 

Hypotenuse:               c = √(a2 + b2)

 

Halber Umfang:         s = ½*(a + b + c)

 

Inkreisradius:             ρ = s – c

Ankreisradien:            ρa = s – b        ρb = s – a         ρc = s

 

Umkreisradius:           r = ½ c

 

Damit lässt sich das Flächenverhältnis berechnen.

 

Ich vermute auf Grund von Beispielen, dass das Flächenverhältnis 8 : 1 nur bei rechtwinkligen Dreiecken auftreten kann.

 

 

Literatur

Walser, Hans (2024): Der Goldene Schnitt. Geometrische und zahlentheoretische Betrachtungen. 7. Auflage. Springer Spektrum.
Print-ISBN 978-3-662-68556-3. E-Book_ISBN 978-3-662-68557-0.
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68557-0